Hallo leutz,
Ich tue mich bei folgender Aufgabe etwas schwer undzwar fängt es schon damit an das ich nicht alles verstehe was da geschrieben steht und jetzt noch die Aufgabe sein soll Wie man etwas benennt.
Die Bemerkung macht das ganze noch viel komplizierter, deswegen zu erst worum handelt es sich in der Aufgabe und im Text(woran macht man es fest) und die eigentliche Aufgabe
Es sei eine Funktion \( R: \mathcal{C} \backslash\{-2,2\} \rightarrow \mathcal{C} \) definiert durch
$$ R(z):=16 z+32+\frac{36}{(z-2)^{2}}+\frac{87}{z-2}+\frac{9}{z+2} \quad(z \in \mathcal{C} \backslash\{-2,2\}) $$
Bestimmen Sie Polynome \( p, q: \boldsymbol{C} \rightarrow \boldsymbol{C} \) mit Nullstellenmengen \( \mathcal{N}(p):=\{z \in \boldsymbol{C} | p(z)=0\} \)
\( \operatorname{und} \mathcal{N}(q):=\{z \in \mathcal{E} | q(z)=0\} \) so, dass \( \mathcal{N}(p) \cap \mathcal{N}(q)=\emptyset \) und
$$ R(z)=\frac{p(z)}{q(z)} \quad \text { für alle } z \in \mathcal{E} \backslash \mathcal{N}(q) $$
gilt. Wie nennt man die Definitionslücken der rationalen Funktion \( R ? \)
Bem.:
Umgekehrt ist es auch stets möglich wieder eine Rückzerlegung von \( R=\frac{R}{g} \) in sogenante Partialbrüche zu erhalten. D.h. es gilt der 'Satz über die Partialbruchzerlegung" rationaler Funktionen:
Es seien Polynome \( p, q: \boldsymbol{\mathcal { C }} \rightarrow \boldsymbol{\mathcal { C }} \) vorgegeben, wobei \( q \) bereits in faktorisierter Darstellung
$$ q(z)=\alpha \cdot\left(z-c_{1}\right)^{k_{1}} \cdots\left(z-c_{m}\right)^{k_{m}} \quad(z \in \mathcal{C}) $$
mit \( \alpha \in \mathcal{E} \backslash\{0\}, m \in I N, k_{1}, \ldots, k_{m} \in I N \) und den paarweise verschiedenen Nullstellen \( c_{1}, \ldots, c_{m} \in \mathcal{E} \) vorliegen möge! Dann lässt sich stets ein Polynom \( \tilde{p}: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} \) sowie Koeffizienten \( A_{\mu \nu} \in \mathscr{C} \) finden, so daß für alle \( z \in \mathcal{E} \backslash\left\{c_{1}, \ldots, c_{m}\right\} \) die folgende additive Zerlegung in Partialbrüche gilt:
$$ \begin{aligned} R(z):=& \frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z)}{\alpha \cdot\left(z-c_{1}\right)^{k_{1}} \cdots\left(z-c_{m}\right)^{k_{m}}} \\ =& \tilde{p}(z)+\frac{A_{11}}{z-c_{1}}+\frac{A_{12}}{\left(z-c_{1}\right)^{2}}+\ldots+\frac{A_{1 k_{1}}}{\left(z-c_{1}\right)^{k_{1}}} \\ &+\frac{A_{21}}{z-c_{2}}+\frac{A_{22}}{\left(z-c_{2}\right)^{2}}+\ldots+\frac{A_{2 k_{2}}}{\left(z-c_{2}\right)^{k_{2}}} \\ &+\frac{A_{m 1}}{z-c_{m}}+\frac{A_{m 2}}{\left(z-c_{m}\right)^{2}}+\ldots+\frac{A_{m k_{m}}}{\left(z-c_{m}\right)^{k_{m}}} \end{aligned} $$ .
