Parameter Diskriminante. Von √(9k² + 36k + 36) zu √(3k+6)^2 ...?

Question

Ich habe eine Diskriminante die lautet √9k² + 36k + 36. Jetzt kann man sie ja zurückrechnen in die Form (3k + 6)² und dann die Wurzel ziehen. 

Kann man das auch anders lösen, z.B von jeder Zahl einzeln die Wurzel ziehen? Das müsste doch auch irgendwie möglich sein, aber wie? 

Comments

Bist du sicher, dass du weißt, was eine Diskriminante ist?

Answer 1

Hi Alpi,

die "Diskriminante" bezeichnet bspw den Ausdruck unter der Wurzel einer quadratischen Gleichung. Sie gibt Aussage über die Anzahl der reellen Lösungen. Die Wurzel selbst ist dabei nicht gemeint (https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante) :)

Wenn Du eine Wurzel ziehen willst, musst Du immer dafür sorgen, dass keine Summe vorhanden ist, da die Wurzel nicht Summandenweise gezogen werden kann. Hingegen gibt es das Wurzelgesetz, welches besagt:

√(ab) = √a · √b

Folglich kannst Du die Ausdrücke unter der Wurzel als Faktoren schreiben und Faktorweise die Wurzel ziehen.

In Deinem Fall hast Du die Summe in ein Produkt umgewandelt (mittels dritter binomischer Formel) und kannst davon dann direkt die Wurzel ziehen! :) Das ist auch das übliche Vorgehen bei solchen Ausgaben.

Wenn Du nicht ganz so fit mit binomischen Formeln bist (ich vermute daher rührt Deine Frage), kannst Du vorgehen wie bei Lu, also erst ausklammern und die Grundform der binomischen Formel sollte kein Problem mehr darstellen :).

Grüße

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Danke erstmal für die ausführliche Antowort. Ja das ist richtig, ich bin nicht ganz so fit mit binom. Formeln. Meine Sorge ist, dass ich die Wurzel vor mir stehen habe und dann nicht weiß, wie ich sie zurück in eine binom. Formel wandeln kann. 

Gibt es irgendeine Grundformel um eine binom. Formel rückzubilden, oder muss man immer rechnen, bis man eine binom. Formel hat? 

Deswegen habe ich gefragt, ob man von den Zahlen notfalls auch einzeln die Wurzel ziehen kann. 

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Die Grundform der binomischen Formel ist a² ± 2ab + b² = (a±b)²

Die dritte binomische Formel hilft uns bei den Wurzeln meist nicht weiter.

Um eine Wurzel zu ziehen sind die binomischen Formeln nur ein Hilfsmittel! Nicht aber ein Allheilmittel oder gar lässt sich jede Wurzel damit radizieren. Teils mag auch ein Ausklammern zum teilweise Wurzel ziehen zur Lösung führen oder ähnliches!

Wenn man allerdings die Aufgabe hat eine Wurzel zu ziehen und man hat drei Summanden, kann man durchaus annehmen, dass eine binomische Formel versteckt ist. Wenn man diese nicht sofort entdecken kann, mag der Zwischenschritt wie von Lu gezeigt, helfen. Dann hat man eventuell die oben gezeigte Grundform vorliegen...welche man erkennen können muss :).

Answer 2

> von jeder Zahl einzeln die Wurzel ziehen?

Du meinst also 5 = √25 = √(16 + 9) = √16 + √9 = 4 + 3 = 7? Nein, das stimmt nicht.

Answer 3

Kann man das auch anders lösen, z.B von jeder Zahl einzeln die Wurzel ziehen?

Nein , das geht nicht.

Answer 4

Teilweises Wurzelziehen funktioniert nur bei Produkten. Annahme: Alles gehört unter deine Wurzel. 

√(9k² + 36k + 36) 

= √(9 * (k^2 + 4k + 4))   

= 3*√ (k^2 + 4k + 4)            | unter der Wurzel binomische Formel erkennen. 

= 3* √ (k+2)^2 

= 3*|k+2|            

Das hat aber alles bis jetzt nichts mit einer Diskriminante zu tun. Was ist denn genau deine Aufgabe? 

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In der letzten Zeile hat das Quadrat nicht loslassen wollen :).

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Besten Dank für den HInweis. Leider musste ich nun Betragsstriche setzen, die Alpi bezüglich Diskriminanten hoffentlich nicht noch mehr verwirren. 

Quadrieren und dann wieder Wurzel ziehen macht aus jeder negativen Zahl eine positive Zahl. Um zu verhindern, dass bei gewissen Werten von k plötzlich eine negative Zahlen rauskommen, wenn man das Wurzelzeichen und das Quadrat einfach weglässt, muss man noch Betragsstriche stehen lassen. 

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Ok wie aussieht, ist das noch komplizierter als das Binom rückzuverwandeln :/. Die Aufgabe war jetzt keine spezielle, ich habe nur Bedenken, dass ich vor der Wurzel dann in der Aufgabe sitze und 1. nicht erkenne, dass hier ein Binom vorliegt, welches ich rückverwandlen kann und 2. nicht auf das Ursprungsbinom komme, ausser durch rumraten. Es sei denn es gibt ein Grundverfahren welches man immer anwenden kann beim rückrechnen einer binom. Formel. 

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Kennst du quadratische Ergänzung?

Das geht hier auch: 

k² + 4k + 4 = k^2 + 4k + (4/2)^2 - (4/2)^2 + 4

= (k + 2)^2 - 4 + 4 

= (k+2)^2 

Du könntest k² + 4k + 4 auch über die Nullstellen faktorisieren. (pq- oder abc-Formel)

Hier kommst du damit auf die doppelte Nullstelle k=-2 und daher:  

k² + 4k + 4 = (k+2)(k+2) 

Answer 5

     Also ich würd schon mal den ggt raus ziehen.

    sqr  (  9  k  ²  +  36  k  +  36  )  =  3  sqr  (  k  ²  +  4  k  +  4  )   =   (  1  )

    =  3  sqr  [  (  k  +  2  )  ²  ]  =  k  +  2     (  2  )