Gesucht ist ein Rechteck mit der Diagonalen 15 cm, dass den größten Flächeninhalt hat

Question

Hallo ihr lieben , bräuchte Hilfe bei einer extremwertaufgabe und den dazugehörigen definitionsbereich

Aufgabe :

Gesucht ist ein Rechteck mit der Diagonalen 15 cm, dass den größten Flächeninhalt

Bisher habe ich folgendes :

Zielfunktion

A(xy)= x*y

Nebenbedingung allgm:

^X2+Y² = 225

X= √(225 - Y²)

Damit in die Zielfunktion:

A = √(225 - y²)*y

Mir fehlt jetzt der definitionsbereich und die Ableitung , bin leider echt eine null in was es angeht mit Wurzeln abzuleiten

Würde mich über eure Hilfe freuen

Answer 1

Hi,

berücksichtige die Produktregel:

$$f(x) = \sqrt{225 - y^2}y = (225 - y^2)^{\frac12} y$$

$$f'(x) = \frac12\cdot(225 - y^2)^{-\frac12}\cdot(-2y)\cdot y + (225 - y^2)^{\frac12}$$

Hinweis: -2y ist die innere Ableitung der Klammer

Das noch auf einen Bruchstrich schreiben, indem man den rechten Summanden mit der Wurzel erweitert:

$$\frac{225 - 2y^2}{\sqrt{225-y^2}}$$

Nullsetzen:

225-2y² = 0

225 = 2y²

112,5 = y²

y = ±√(112,5) ≈ 10,607

x = y = 10,607

Mit dem Flächeninhalt A = x² = 112,5

Grüße

Answer 2

Der (in der Schule immer reelle) Definitionsbereich ergibt sich aus der Tatsache, dass unter der Wurzel nichts Negatives stehen darf, also 225-y²≥0 gelten muss. Dies ist im Intervall [-15,+15] erfüllt.

Comments

Der Definitionsbereich ergibt sich hier aus der Tatsache, dass die Seitenlänge eines Rechtecks immer größer als Null und kleiner als seine Diagonalenlänge sein muss. Es muss hier also gelten:

$$x^2+y^2=15^2 \quad\text{und}\quad 0 < x,y < 15 $$

---

Tatsächlich müssen die Seitenlängen positiv sein. Das hatte ich unberücksichtigt gelassen (bezogen auf die vorgeschlagenen Zielfunktionsgleichung hatte ich aber einen zutreffenden Definitionsbereich angegeben). Dann ist der Definitionsbereich gegeben durch 0 < x < 15 gegeben. Ein Definitionsbereich liegt in der Schule immer auf der x-Achse.

Answer 3

Ableiten von Wurzeln kannst du immer so erledigen

wurzel aus irgendwas

ist immer

( irgendwas) ^1/2 

und damit die Ableitung

1/2 * ( irgendwas) ^-1/2 * Abl. von irgendwas

Answer 4

Mir fehlt jetzt der Definitionsbereich und die Ableitung, bin leider echt 'ne Null in was es angeht, mit Wurzeln abzuleiten.

Hi, ich mache das meistens so:

$$ f(x) = \sqrt{v(x)}\\\,\\f'(x) = \frac { v'(x) }{ 2\cdot\sqrt{v(x)} } $$Das kannst du bei Bedaf selbst herleiten, ist aber als feste Regel schon dadurch gerechtfertigt, dass sie oft genug angewendet werden kann.

Answer 5

  Oft hilft auch schon die richtige geometrische Vorstellung weiter. Die Nebenbedingung mit der Diagonale bedeutet doch nichts weiter, als dass du einen Kreis mit Radius R hast. Die Rechteckseiten wären dann die beiden Kateten

       x  =  R  cos  (  ß  )      (  1a  )

       y  =  R  sin  (  ß  )      (  1b  )

       F  =  x  y  =  R  ²  sin  (  ß  )  cos  (  ß  )       (  2a  )

            =  1/2    R  ²  sin  (  2  ß  )     (  2b  )

    und zwar ( 2b ) auf Grund eines ===> Additionsteorems . Damit benötigst du aber keine Ableitung; ( 2b ) wird maximal für 2 ß = 90 ° C ===> x = y = Quadrat

Answer 6

Wenn Du eine Wurzel maximieren willst, versuche doch das Quadrat zu maximieren.

Die Zielfunktion muss sich durch Aendern der Gleichung ergeben, also zum Beispiel nach Quadrieren mit Multiplikation von x^2.