Reihe (n)!^2/(2n)! lösen

Question

ich habe die Aufgabe mit dem Quotientenkirterium dahingehend gelöst,

das ich folgenden Ausdruck habe: lim n-> infinity (n^2+2n+2)/(2n+2)!

nun weiß ich nicht weiter

Comments

Vielleicht postest du mal deine Rechnung, dann kann man schauen, wo die Fehler passiert sind!

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 lim n --> ∞ |an+1/an|=lim n --> ∞(n+1)^2/[(2n+2)*(2n+1)]=1/4<1

konvergiert

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Hallo hier ist meine Rechnung...

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Alle deine Umformungen bis dahin sind richtig.

Zuletzt kannst du noch kürzen 

(2n+2)!=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!

und dann den Grenzwert berechnen.

Answer 1

 lim n --> ∞ |an+1/an|=lim n --> ∞(n+1)²/[(2n+2)*(2n+1)]=1/4<1

konvergiert

Answer 2

Hallo.

weiter ab deiner letzten richtigen Zeile mit dem Quotientenkriterium:

lim_n→∞ [  |a_n+1 / an | =

lim_n→∞ \(\frac{(n+1)·(n+1)·(2n!)}{(2n+2)!}\)  =  lim_n→∞\(\frac{(n+1)^2·(2n!)}{(2n+2)·(2n+1)·(2n)!}\)  =  lim_n→∞ \(\frac{(n+1)^2}{(2n+2)·(2n+1)}\) 

=  lim_n→∞ \(\frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}\)  =  lim_n→∞ \(\frac{n^2·(1+2/n+1/n^2)}{n^2·(4+6/n+2/n^2)}\)  =  lim_n→∞ \(\frac{1+2/n+1/n^2}{4+6/n+2/n^2}\) 

= 1/4 < 1 →  die Reihe ist konvergent

Gruß Wolfgang