Für welche x konvergiert die Reihe Σx^{n}/(1+x^(2n))?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, für welche x die Reihe Σx^n/(1+x^(2n)) konvergiert (Die reihe beginnt bei n=0)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie man hierbei vorgeht. Den Konvergenzradius kann ich ja nicht so einfach berechnen weil das x zweimal vorkommt. Wie gehe ich hier vor?

Comments

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie man hierbei vorgeht.

Äußerst ärgerlich, dass dir nie jemand irgendeine Formel zur Bestimmung des Konvergenzradius verraten hat.

Ich würde unter Protest die Bildungseinrichtung wechseln.

Oder kannst du nur keine Doppelbrüche?

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Ich weiß wie man den Konvergenzradius berechnet, aber nicht wie man das bei einer reihe wo x mehrmals auftaucht macht

Answer 1

Ich untersuche zunächst absolute Konvergenz:

1. Es ist \(|\frac{x^n}{1+x^{2x}}|\leq |x|^n\). Für \(|x|<1\) ist dann

\(\sum|x|^n\) eine konvergente Majorante.

2. Sei nun \(|x|>1\). Dann haben wir

\(|\frac{x^n}{1+x^{2n}}|=\frac{1}{|x|^{-1}+|x|^n}\leq \frac{1}{|x|^n}=(\frac{1}{|x|})^n\)

In diesem Falle ist also \(\sum (\frac{1}{|x|})^n\) eine konvergente Majorante.

3. In den verbleibenden Fällen \(x=\pm 1\) liegt Divergenz vor.