Ist dieses Differentialgleichungssystem ln (f(1)) * f´(1) = 1; ln (f(2)) * f´(2) = 5 lösbar? Wenn ja wie?

Question

Hallo Community, ich suche nach Lösungen für folgendes System von Differentialgleichungen -->

ln (f(1)) * f´(1) = 1

ln (f(2)) * f´(2) = 5

ln steht für die natürliche Logarithmusfunktion.

f steht für dir Funktion f(x), f´ steht für die 1. Ableitung der Funkltion f(x).

Es ist mir nicht wichtig, nur eine einzige Lösung für dieses Gleichungssystem zu erhalten, es dürfen auch mehrere Lösungen sein, falls vorhanden.Sogar eine ganze Lösungsschar von Funktionen falls vorhanden stellt kein Problem dar. Die Funktion(-en) sollte nur eine oder mehrere reelle Funktion(-en) sein, ohne imaginären Anteil !

Für welche Funktion(-en)  f(x) ist das obrige Gleichungssystem erfüllt. ? Es ist lange her, das ich mich zuletzt mit Differentialgleichungen beschäftigt habe, kennt jemand die Antwort ?  Eine Angabe des Lösungsweges wäre sehr schön, ist aber kein muss !

Answer 1

ich habe inzwischen die Lösung für dieses Differentialgleichungssystem durch reinen Zufall selbst gefunden. Dieses Differentialgleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine Voraussetzung, die jedoch erfüllt sein muss, ist das man für die Funktion f(x) einen Funktionsansatz mit 2 unbekannten Parametern, nennen wir sie einfach mal a und b, wählt. Man kann diesen Funktionsansatz für die Funktion

f(x) und die dazugehörige 1. Ableitungsfunktion f´(x) dann in das obige Differentialgleichungssystem einsetzen, und erhält ein System von Nichtlinearen Gleichungen, das man zum Beispiel mit https://www.matheretter.de/rechner/lgs lösen kann. Konkretes Beispiel -->

Legen wir für f(x) den Funktionsansatz f(x)=a+b*x fest. Dann erhalten wir als 1. Ableitungsfunktion f´(x)=b.

In das obige Differentialgleichungssystem eingesetzt erhalten wir -->

ln (a+b*1) * b - 1 = 0

ln (a+b*2) * b - 5 = 0

Dieses Nichtlineare Gleichungssystem können wir zum Beispiel mit Hilfe von https://www.matheretter.de/rechner/lgs lösen, und erhalten -->

a = -1.907104839468

b = +3.265413061028

f(x) = -1.907104839468 +3.265413061028 * x

f´(x) = +3.265413061028

Ich habe dasselbe auch mit dem Funktionsansatz

f(x) = a * e ^ (b * x) , f´(x) = a * b * e ^ (b * x) ausprobiert und folgende Lösung gefunden -->

a = 0.856925393632

b = 0.803990939747

Was soll das Ganze ??

Die Funktion f(x) = ln x soll über das Intervall [1;5] integriert werden. Man möchte aber zum Beispiel über das Intervall [1;2] integrieren, ohne das die Berechnung des Integrals verfälscht wird. Dazu muss man dann einen Funktionsansatz wählen, zum Beispiel a + b * x aus dem obigen Beispiel, und x in der Funktion f(x) durch diesen ersetzen, das ergibt f(x) = ln (a+b*x). Anschliessend muss man diesen Ausdruck noch mit der 1. Ableitung von (a + b * x), also b multiplizieren und erhält -->

f(x) =  ln(a + b * x) * b

mit

a = -1.907104839468

b = +3.265413061028

Wenn man das neue f(x) =  ln(a + b * x) * b nun über das Intervall [1;2] integriert, verhält es sich so, als hätte man das alte f(x) = ln x über das Intervall [1;5] integriert, ohne das das Ergebnis verfälscht wird.

Diese Methode wird Substitutionsmethode, von manchen Buch-Autoren auch Transformationsmethode genannt. Wie ich nachgelesen habe, funktioniert das ganze aber nur mit Funktionsansätzen, die streng monoton analytisch sind.

Comments

Liebe Leute, leider habe ich einen riesigen Denkfehler gemacht :( !

Die Lösung des obigen Differentialgleichungssystems ist zwar korrekt, jedoch ist die Berechnung nach dem Abschnitt "Was soll das Ganze ??" gänzlich falsch. Das obige Differentialgleichungssystem steht in keinem Bezug zu dem letzten Abschnitt, d.h. ist dafür gar nicht erforderlich und hat damit gar nichts zu tun. Für die Umformung des Intervalls [1;5] auf das Intervall [1;2] muss nur folgendes simple Gleichungssystem gelöst werden, wenn man den Funktionsansatz a+b*x wählt -->


a+b*1=1

a+b*2=5


Ergebnis a = -3 und b = +4, man erhält für f(x) = ln (-3 +4 *x) *4

Integriert man f(x) = ln (-3 +4 *x) *4 über das Intervall [1;2] dann verhält es sich genau so, als hätte man      f(x)=ln x über das Intervall [1;5] integriert. So simpel ist das. Das war eine riesige Eselei von mir !