Integrieren von Funktionen mit Polstelle

Question

ich habe eine allgemeine Frage. Wenn ich eine Funktion mit Polstelle habe.

Beispielweise 1/x^2 von -1 bis 1. Sprich ein bestimmtes Integral.

Muss dann das Integral aufgespalten werden in vor und nach der Polstelle?

Answer 1

f(x) = 1/x² ist für x=0 nicht definiert. man kann also die Intervalle  [-1 ; 0[  und ]0 ; 1] nur getrennt betrachten.

₀∫¹ 1/x² dx = lim_z→0+ z∫¹ 1/x² dx  =  lim_z→0+  [ -1/x ]_z¹

= lim_z→0 [ -1 -  (-1/z) ]  =  lim_z→0 [ -1 + 1/z ]  =  ∞

Der Grenzwert - und damit das Integral - existieren also im eigentlichen Sinn nicht.

Wegen der Achsenymmetrie gilt das auch für  _-1∫⁰  1/x² dx .

Gruß Wolfgang

Answer 2

Die Funktion ist bei x=0 nicht definiert, also über [-1 ; 1 ] nicht integrierbar.

Wenn du sowas wie Flächenberechnung machen willst, dann muss du

schauen ob die Integrale von -1 bis 0 und von 0 bis 1 einzeln existieren.

Comments

Das müsste ich dann mit allen Funktionen so machen, wenn die Funktion für den Wert nicht definiert ist.

Sprich eine Funktion mit lnx müsste dann auch von x bis 0  und 0 bis x betrachtet werden richtig?

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ln(x) ist ja  nur für x>0 definiert.

Wäre allenfalls so etwas wie das uneigentliche Integral von 0 bis 1 (oder so)

oder auch von o bis unendlich zu untersuchen.

z.B. von 0 bis 1 ginge dann so:

Man rechnet für z>0 von z bis 1 und betrachtet vom

Ergebnis den GW für z gegen 0.

Answer 3

hierzu gibr es ein Video mit Beispielen: