Wann ist die A^2=A folglich Spur(A)=Rang(A)

Question

es sei \(A\in M_n(\mathbb{K})\) und es gilt \(A^2=A\). Dann gilt Spur(A)= Rang(A).
Die Frage ist, wann ist \(A^2=A\).Stimmt es, dass dann A entweder die Nullmatrix ist oder die Einheitsmatrix. Ich sehe keine anderen Möglichkeiten, aber vielleicht sehe ich es einfach auch nicht?

Comments

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

Answer 1

wenn eine Matrix A den Eigenwert λ hat, so hat die Matrix A^2 den dazugehörigen Eigenwert λ^2.

Da nun gilt A^2=A folgt λ^2=λ.

Somit gibt es nur die Eigenwerte λ=1 und λ=0 (mehrfach möglich)

Es gilt : Spur von A ist die Summe der Eigenwerte

und Rang von A ist die Anzahl der von 0 versch. Eigenwerten. Da die Eigenwerte nur  0 oder 1 sind, ist

Sp(A)=Rk(A)

Answer 2

Die Matrix

0 1
0 1

tut es auch.

versuche am besten ganz allgemein:

a b
c d

und das Quadrat

a^2 + bc   ab+bd
ac+cd        bc + d^2

Dann muss gelten

a = a^2 + bc  und  b=ab + bd und accd = c und bc + d^2 = d

bzw. .

a = a^2 + bc  und  b*( 1 - a -d)=0 und ac + cd = c und bc + d^2 = d

und aus b*( 1 - a -d)=0

erhältst du b=0  oder  a+d = 1 .

Dann Fall unterscheidung

b= 0 dann hast du bei den 3 anderen

a = a^2   und   ac + cd = c und   d^2 = d

das  gibt schon mal  a=0 oder a=1 

und           d=0   oder d = 1.

usw.

alle Fälle durchtesten und zeigen

rang = spur.