Wie kann ich die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2 bestimmen?

Question

Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe : Bestimmen sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2..
E1: x₁+5_x3= 8
E2: x₁+x₂+x₃ =1
Könnte ich diese Aufgabe mit dem GTR lösen? Wenn ja, Wie? Komme mit dieser Aufgabe leider nicht ganz zurecht. 

Answer 1

Ich würde da keinen GTR bemühen. Es genügt, wenn du 2 Punkte rausbekommst, die auf der Schnittgeraden liegen. 

E1: x₁+5_x3= 8         . | verläuft übrigens parallel zur  x2-Achse.

E2: x₁+x₂+x₃ =1 

Wähle z.B. x1 = 0

E1: 5x₃= 8   (I)   | : 5

x₃ = 8/5 = 1.6

==> 
E2: 0+x₂+1.6 =1  (II) 

x_(2) = -0.6

P1 (0 | -0.6 | 1.6)

Nun wähle noch x_(3) = 0

E1: x₁= 8 
E2: 8 +x₂+0 =1 

x_(2) = -7

P(2) = ( 8 | -7 | 0)

Rechne nach und schreibe dann eine Gleichung der Geraden durch P1 und P2 hin. 

Zum GTR:

Vielleicht bekommst du über den Link in der "ähnlichen Frage" https://www.mathelounge.de/264682/schnittgerade-von-ebene-e1-und-e2-bestimmen selbst ein passende Skizze hin. 

Answer 2

ich benutze leider keinen GTR.

"Von Hand" geht das z.B. so:

Die Normalenvektoren der beiden Ebenen sind \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Diese sind nicht parallel, also haben die Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade.

Das Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\)  der beiden Normalenvektoren ist für diese ein Richtungsvektor.

Einen Aufpunkt erhältst du aus dem LGS

x₁ + 5x₃ = 8 

 x₁ + x₂ + x₃ = 1 

indem du zum Beispiel x₃ = 0 setzt  → x₁ = 8  und x₂ = -7

Schnittgerade::   \(\vec{x}\)  =   \(\begin{pmatrix} 8 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}\)  +  r • \(\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\)  

Gruß Wolfgang