Eigenwerte/Eigenvektoren einer Matrix

Question

ich hätte zwei Fragen zum Thema Eigenwerte, Eigenvektoren einer Matrix. Gegeben ist folgende Matrix:

$$ \begin{matrix} -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 \end{matrix}\\  $$

Berechnung der Eigenwerte ist eigentlich nicht das Problem, aber zur Kontrolle meiner Ergebnisse nutze ich Wolfram Alpha und diese Website sagt mir, dass es die Eigenwerte 5,-3,-3 gibt. Also -3 zweifach.
1. Frage: Woran erkenne ich, ob eine Nullstelle eine vielfache Nullstelle ist?

Die Berechnung der jeweiligen Eigenvektoren sieht bei mir so aus (Bsp mit -3):

-5x + 2y -3z = 0
2x - 2y -6z = 0
-x -2y -3z = 0

Ich verzweifle aber seltsamerweise an dem Lösen dieses LGS. Gibt es hier irgendwelche Tricks um die Unbekannten und somit den Eigenvektor zu berechnen?

Answer 1

Berechne det ( M - x*E)  wenn M die Matrix und E die Einheitsmatrix ist.

Das gibt - x^3 - x^2 + 21x + 45

Davon die Nullstellen sind 5 und -3 wobei -3 doppelt ist,

denn

( - x^3 - x^2 + 21x + 45 ) : ( x - 5 ) = - ( x^2 + 6x + 9 ) = - ( x+3) ^2

also doppelter Linearfaktor x+3.

Bei den Eigenvektoren machst du Gauss, das gibt das LGS

(du hattest +3 und -3 verwechselt )

  x + 2y -3z = 0
2x  +4y   -6z = 0
-x   -2y     + 3z = 0

ich schreib mal ohne Variable

1     2      -3
0      0       0
0      0       0

also y und z frei wählbar und

x = -2y + 3z also sehen die Eigenvektoren zum

EW  -3  so aus 

-2y + 3z
      y
      z

bzw 

-2y                    3z
   y          +           0
   0                       z

und damit bilden

   2                         3
  1         und           0
   0                         1

eine Basis des Eigenraums.

Answer 2

Charakteristisches Polynom ist -λ³-λ²+21λ+45. Das lässt sich faktorisieren zu -(λ-5)(3+λ)². Wegen des Exponenten ist -3 eine zweifache Nullstelle.

Verwende das Gauß-Verfahren um lineare Gleichungssysteme zu lösen.