Wie bestimmt man Extrempunkte? H(t) = -2*t^2 + 8*t. (H: Höhe, t: Zeit)

Question

Hallo , ich hab folgende Textaufgaben bei den ich nicht weiß wie ich ran gehen soll .

Answer 1

n.B.  f'(x)=0

h.B.  f''(x) ungleich 0  /    x>0  TP   /  x<0 HP

Comments

Bei

a) die Nullstellen der Funktion berechnen
b) den x-Wert des Hochpunkts
c) den HP

Answer 2

 

  (Einheiten fehlen in der Aufgabenstellung!)

1)   

H(t) = -2t² + 8t       

a)   Zur Start- und Landezeit  ist die Höhe H(t) = 0

-2t² + 8t = 0  ⇔  -2t · (t - 4) = 0  ⇔ t = 0  oder t = 4

Starzeit   t = 0   ; Landezeit  t = 4     (Sollen wohl Stunden sein)  

b)  H(t) ist z.B. maximal, wenn H'(t) = 0 gilt  (im Scheitelpunkt = Hochpunkt)

H'(t) = -4t + 8 = 0       → t = 2 

[ oder: da H(t) eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, liegt der Zeitpunkt in der Mitte zwischen t=0 und t=4 ]

c)   maximale Höhe = H(2) = -2·2² + 8·2 = 8     (Sollen wohl Kilometer sein)

2)

f(x) = -0,875 ·x² + 3,5 · x

a)  Beim x-Wert des Scheitelpunkts ist f '(x) = 0

f '(x) =  - 1,75·x + 3,5 = 0   ⇒   x = 2    

[ oder:  f(x) = 0 ⇔ -0,875 ·x² + 3,5 · x = 0 ⇔ x · (-0,875·x + 3,5) = 0 

⇔ x = 0 oder -0,875·x  3,5 = 0  ⇔ x=0 oder x = 4 . Der Scheitelpunkt liegt dann wieder in der Mitte bei x = 2 ] 

Die Höhe ist dann f(2) = 3,5    (Sollen wohl Meter sein)

Das Ende x_E  des  Parabelbogens ist vom Anfang doppelt so weit entfernt wie der Scheitelpunkt, also  x_E = 4 [m]

Gruß Wolfgang

Answer 3

Der Flug eines Flugzeugs wird durch \(H(t)=-2 \cdot t^2+8 \cdot t\) beschrieben (H: Höhe, t: Zeit). Berechnen Sie die folgenden Werte:

a) Start und Landezeit,

b) Zeitpunkt maximaler Höhe,

c) maximale Höhe.

zu a) Es ist \(H(t)=-2 \cdot t^2+8 \cdot t = -2 \cdot t \cdot \left(t-4\right) \) und die Nullstellen können aus der faktorisierten Form abgelesen werden. Dies ergibt \(t=0\) als Startzeit und \(t=4\) als Landezeit.

zu b) Die Flugparabel ist symmetrisch zu ihrer Scheitelachse, der Zeitpunkt \(t\) maximaler Höhe liegt also in der Mitte zwischen Startzeitpunkt und Landezeitpunkt, bzw. nach halber Flugzeit. Also gilt für den Zeitpunkt maximaler Höhe: \(t=(0+4):2=2.\)

zu c): Die maximale Höhe beträgt \(H(2)= -2 \cdot 2 \cdot \left(2-4\right) = 8.\)

(Einheiten jeweils in Zeiteinheiten bzw. in Höheneinheiten.)

Anmerkung: Diese Lösung kommt ohne Differenzialrechnung aus.)