Nullstellen von x^15 - 1

Question

Hallo leutz,
Ich habe mal eine Frage undzwar kriege ich die erste Stelle raus, die ist ja noch einfach.
Danach habe ich polynomdivision gemacht und komme auf x^14 + x^13 +...+x^1 + 1
Wie mache ich ab da an weiter.
Nullstellen dieser Aufgabe

x^15 - 1

Answer 1

Ich hab da jetzt ein x ausgeklammert und die eine 1 auf die andere Seite gestellt. Dann komm ich auf die nächste Stelle ? oder wie komm ich da ran. Hab ab da irgendwie Probleme auf jeden Fall

Comments

Es gibt nur eine reelle Nullstelle, die anderen 14 sind komplex. Wenn Du die auch noch auszurechnen haettest, dann wuesstest Du wie es geht.

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Woran erkennst du denn das es komplexe Stellen gibt ?

Answer 2

x^15 = 1

reelle Lösung gibt es nur eine:   x=1

Denn der Graph zu f(x) = x^15 hat keine Extremstellen.

Komplex gibt es 15 Stück.

Comments

Ich soll alle Nullstellen angeben. Wie komm ich denn auf die anderen

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Die sind alle von der Form

z = cos( n*2*pi/15 ) + i * sin( n*2*pi/15)

Für n=15 gibt es die bekannte 1 .

Und für n = 1 bis 14 die anderen.

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Im Komlexen hat jede Gleichung z^n = c

immer n verschiedene Lösungen.

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Also wenn ich für n immer eine Zahl weniger als 15 einsetze, bekomme ich eine Nullstelle raus ?

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Genau so ist es.

Answer 3

f(x)=x^15=1

Die Gleichung hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra 15 Lösungen im komplexen.

Im reellen gibt es aber nur eine,

weil lim x---> -∞ f(x)=-∞, lim x---> ∞ f(x)=∞

und f'(x)=15x^14 >0

komplex:

xk=e^{i*2*π*k/15}

k=0,1,2,....14

weil zk^15=e^{i*2*π*k}=1

Comments

Wie kommst du auf xk = e^{i*2*pi*k/15}

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--->  https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel

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Wie kommst du darauf das ich e^{...} hier anwenden muss ?

Das es eine Reelle Lösung gibt habe ich ja verstanden also -unendlich und einmal unendlich eingesetzt und gucken wogegen es konvergiert.

Dann wären ja meine Nullstellen immer 1 weil es ja immer das doppelte von 2pi wird ausser bei 1 und 0

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Hast du schon komplexe Zahlen im Unterricht/Vorlesung kennengelernt? Wenn nicht, hat es wenig Sinn diese Aufgabe zu lösen. Dann solltest du dir erstmal die Grundlagen zu dem Thema aneignen.

Answer 4

x^15 - 1 = 0

x^15 = 1

Weißt du wie die Funktion x^15 für reelle Werte von x aussieht?

Da 1^15 = 1 ist ist 1 eine Nullstelle. Eine andere Lösung gibt es nicht denn ansonsten gibt keine reelle Zahl hoch 15 den Wert 1.