Koeffizientenmatrix in normierte Zeilenstufenform bringen, Basis des Kerns und des Bildes?

Question

Gegeben sei A:= (-1    2     2     0     0

                               0      0    6      0      2

                              1       -2    1      9      -8)   ∈ℝ^3,5

sowie b:= (-4,6,-2)∈ℝ^3

a) Stellen Sie die erweiterte koeffizientenmatrix auf und bringen Sie diese in nomierte Zeilenstufenform

Also ich habe die matrix so verändert dass ich bis zu diesem punkt gekommen bin:

(1  -2      -2     0    0       | 4

0    0       1      3     -8/3 | -2

0    0       0      0       1     |   3)

b) bestimmen sie die lösungsmenge des gleichungssystem

c) bestimmen sie eine basis des kerns von A

d) bestimmen sie eine basis von bild(A)

Danke für jede hilfe:)

Answer 1

Du machst eine erweiterte Matrix mit gleich 3 rechten Spalten, die erste für den Kern, die zweite für das Bild, die dritte für die Lösung des LGS:

( -1   2  2  0   0  |  0  |  a  | -4 )

(  0   0  6  0   2  |  0  |  b  |  6 )

(  1  -2  1  9  -8  |  0  |  c  |  -2 )

Dann Zeilenstufenform. Deine oben ist falsch, da oberhalb und unterhalöb der Pivotpositionen nur 0 stehen darf.

Matrix mit Nullzeilen erweitern auf 5 x 5, Pivot auf Diagonale, dann 0 auf Diagonale zu -1 machen.

-1-Spalten ergeben Basis für Kern.

Falls Nullzeile in linker Seite und Buchstaben in rechter mussen diese gleich 0 gesetzt werden, das ergibt Bedingung und Lösung für Bild.

Grüße,
M.B.

Comments

Kern:

(2,1,0, 0, 0), (2,0,1,-3,-3)

Bild:

(-9,0, 1), ( 6,3,-1), ( 0,0, 1)

Lösung:

Nr. 15181

Grüße,

M.B.

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danke fürd eine hilfe, ich schaffe es irgendwie nicht die erweiterte matrix in die nomierte zeilenform zu bringen, ich komme wirklich nicht weiter, dadurch kann ich ja das gleichungssystem nicht lösen ..

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gehen wir einmal davon aus, dass Deine ZSF oben soweit richtig ist. Sie ist aber nicht fertig.

Du hast in jeder Zeile führende 0, dann eine 1 (= Pivot). In den Pivot-Spalten dürfen aber keine weiteren Zahlen stehen. Also musst Du weitermachen: In Zeile 2 steht oberhalb der 1 eine -2, die muss weg, also Zeile 1 = Zeile 1 + 2 * Zeile 2. Und die -8/3 bekommst Du mit Zeile 3 weg (da diese nichts anderes als eine einzige 1 hat, kannst Du die -8/3 einfach löschen), genauso wie Du die letzte Zahl in Zeile 1 dann auf 0 bringen musst (auch hier wegen Zeile 3 einfach löschen).

Außerdem musst Du noch eine weitere Spalte mit a,b,c mitführen. Nach allen Umformungen stehen statt a,b,c dort irgendwelche Terme. Die sind wichtig, um das Bild zu bestimmen.

Siehe Nr. 15181 bei mir.

Grüße,

M.B.

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Danke nochmals, icgh binnun bis hierhin gekommen:

( 1   -2    0    6    0    0

0      0     1    3   0     -2

0       0    0    0    1     3)

Mein problem ist die 4.Spalte über der 3 steht noch die 6. dürfen in der nomierten zeilenform nur 1 und 0 sein?

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bei einem Pivot dürfen links, oben und unten nichts stehen, alles andere ist egal.

Die 3 ist kein Pivot, ebensowenig wie die 6. Die 6 bekommst Du war durch 2*3 weg, würdest aber oberhalb der 1 dafür wieder eine Zahl bekommen, was nicht erlaubt ist, also lass es.

(Kurze Ergänzung: Da Du eine rechte Seite ungleich 0 hast, darfst Du natürlich *nicht* die -8/3 einfach löschen, sondern musst sie formal durch Rechnung entfernen, sonst wird Deine rechte Seite falsch.)

Außerdem hast Du immer noch keine allgemeine Spalte a,b,c. Du bekommst kein Bild ohne diese.

Grüße,

M.B.

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ja mein problem ist dass ich and iesem punkt nicht weiter komme. ich habe die -8/3 durch einerechnung elimieniert. aus dem rund den sie genannt haben konnte ich 3 bzw. 6 nicht eliminieren. wie soll ich auf ein bild kommen wenn ich hier nicht weiterkomme.

das einizige was ich weiss ist dass x₅ = 3 ist

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ich habe Dir ganz oben eine erweiterte Matrix mit 3 rechten Seiten gegeben. Nimm diese und bringe sie auf eine Zeilenstufenform.

Also denk nicht nach, diskutiere nicht zu viel, sondern mach es endlich:

Zeile 3 = Zeile 3 + Zeile 1 (alle Umformungen natürlich für die linke und alle rechten Seiten)

Dann Zeile 1 negieren,

usw., usw.,

Wenn Du damit fertig bist, melde Dich wieder.

Grüße,

M.B.

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ich habe mit  dieser matrix gearbeitet

( -1   2  2  0   0  |  0  |  a  | -4 )

(  0   0  6  0   2  |  0  |  b  |  6 )

(  1  -2  1  9  -8  |  0  |  c  |  -2 )     <->

( -1   2  2  0   0  |  0  | -4 )

(  0   0  6  0   2  |  0  |  6 )

(  1  -2  1  9  -8  |  0  |  -2 )

dann in die nomierte zeilenstufe und genau da bin ich nicht weiter gekommen

außerdem find ich dein kommentar "Also denk nicht nach, diskutiere nicht zu viel, sondern mach es endlich"

echt nicht hilfreich, seit wann löst man aufgaben ohne nachzudenken, ich kann doch nicht alles hinnehmen sondern muss es nachvollziehen können, sonst hätte ich die frage auch nicht gestellt. Dieses Forum soll ja ein sinn haben.

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Du sollst die obere der beiden Matrizen in Zeilenstufenform bringen. Das hast Du immer noch nicht gemacht. Du hast schon wieder die abc-Spalte gelöscht, obwohl ich nun schon 1000mal gesagt habe, dass Du sie für das Bild brauchst.

Und genau das meine ich mit diskutieren: Du willst Hilfe, aber machst nicht, was man Dir sagt.

Also nochmals:

Bring die Matrix in Zeilenstufenform! Addiere die erste zur letzten Zeile, dann negiere die erste Zeile, usw. usw. Das sollte man als Student schaffen.

Grüße,

M.B.

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Ich habe es nun mal so gelernt dass man die a,b,c, spalte löscht

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es interessiert mich nicht. Du diskutierst schon wieder anstatt zu rechnen:

Bring die Matrix in Zeilenstufenform! Addiere die erste zur letzten Zeile, dann negiere die erste Zeile, usw. usw.

Grüße,

M.B.

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kleiner Fehler oben:

Kern:

(2,1,0, 0, 0), (2,0,1,-3,-3)

Bild:

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

neue Lösung:

Nr. 15181

Grüße,

M.B.

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MatheMB du meintest ja dass man die a,b,c splate nicht löscht aber wie geht man denn vor

( -1   2  2  0   0  |  0  |  a  | -4 )

(  0   0  6  0   2  |  0  |  b  |  6 )

(  1  -2  1  9  -8  |  0  |  c  |  -2 )


kann ich sie trotzdem in die zeilenstufenform bringen?

1. Zeile 3 + Zeile 1

( 1   2  2  0   0  |  0  |  a  | -4 )

(  0   0  6  0   2  |  0  |  b  |  6 )

(  0  0  3  9  -8  |  0  |  c +a |  -6 )

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(ich mache das jetzt frei aus dem Kopf und hoffe, es ist richtig.)

Alle Deine 4 Fragen lassen sich gleichzeitig lösen, deswegen zuerst etwas Theorie:

Du hast eine lineare Abbildung f: V --> W, wobei V und W Vektorräume nicht unbedingt gleicher Dimension sind. Da die Abbildung linear ist, kann man sie auch über eine Matrix darstellen, deswegen hast Du die Gleichheit f(v) = A*v mit v aus V.

Der Kern einer Abbildung f bzw. einer Matrix A sind alle diejenigen Vektoren, die auf den Nullvektor abbilden, also sozusagen ins Leere laufen, ein Ergebnis vernichten, nutzlos sind, sozusagen die Nullstellen der Abbildung. Der Kern ist also eine Teilmenge von *V*, man kann auch beweisen, dass er nicht nur einfach Teilmenge, sondern sogar Unterraum ist.

Das Bild sind alle Vektoren, die man durch die Abbildung erzeugen kann, bei einer normalen Funktion würde man sagen, die Wertemenge. Das Bild ist also eine Teilmenge aus *W*, und sogar ebenfalls ein Unterraum.

Unterraum kann, wie bei Teilmengen, auch der gesamte Raum sein. Wenn er aber ein echter Unterraum ist, dann musst Du seine Struktur kennen, dann hast Du ja Abhängigkeiten, die Du kennen musst, und das ist auch der Grund für die allgemeine Spalte a,b,c.

Hinweis 1: Wenn Du die Matrixinvertierung kennst, dann fängt man damit an, dass man links die Matrix und rechts die Einheitsmatrix hat. Dann formt man so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht und rechts hat Du dann die Inverse. Du machst hier im Prinzip das Gleiche. Du hast nur das Problem, dass die Dimensionen von V und W nicht gleich sein müssen, Deine Matrix A somit normalerweise nicht quadratisch ist, und sich somit auch nicht invertieren lässt, aber das Prinzip ist trotzdem das Gleiche.

Hinweis 2: Anstatt der Spalte a,b,c kannst Du, wie bei der Invertierung, auch eine Einheitsmatrix hinschreiben, mit a,b,c ist es meist besser.

Und jetzt fängst Du an:

( -1   2  2  0   0  |  a)

(  0   0  6  0   2  |  b)

(  1  -2  1  9  -8  |  c)

Bringe das Ganze auf eine Zeilenstufenform.

Hinweis 3: Die Nullspalte ist eigentlich nutzlos, da Du sie für a=b=c=0 aus der allgemeinen Lösung erhältst. Die Spalte für Deinen Lösungsvektor ist auch nutzlos, da Du sie aus der allgemeinen Lösung für a=-4, b=6 und c=-2 erhältst.

Grüße,

M.B.

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Dankeschön!! Mein Problem ist dass ich mit der a,b,c Spalte nicht klar komme.

( -1   2  2  0   0  |  a) 

(  0   0  6  0   2  |  b) 

(  1  -2  1  9  -8  |  c)

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das sind Variablen, und so behandelst Du sie auch, 5. Klasse Hauptschule: a+2a = 3a usw.

Erste Zeile zur dritten dazu, also steht dort c+a. Dann erste Zeile negieren, also steht dann dort -a.

Grüße,

M.B.

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( -1   2  2  0   0  |  a)  

(  0   0  6  0   2  |  b)  

(  1  -2  1  9  -8  |  c)        III + I und I *(-1)

( 1  -2   -2  0   0|- a)

(0  0   6  0   2| b)

(0  0  3   9  -8|c+a)

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weiter, Du hast noch keine ZSF.

Grüße,

M.B.

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II - 2*III

( 1   -2    -2   0          0|- a)

(0   0       0   -18       -14 I b- 2(b+a)

(0   0       3    9            -8|c+a)

II * 1/2

( 1   -2    -2   0          0  |- a)

(0   0       0   -9       -7  I  a-(b/2)

(0   0       3    9         -8|c+a)

III + II

( 1   -2    -2   0          0  |- a)

(0   0       0   -9       -7  I  a-(b/2)

(0   0       3    0         -15|c+a) + a-(b/2)

I * 3/2 + III

(3/2  -3    0     0       0 I -3/2a)

(0   0       0   -9       -7  I  a-(b/2)

(0   0       3    0         -15|c+a) + a-(b/2)

I *2/3

( 1   -2    0   0          0  |- a)

(0   0       0   -9       -7  I  a-(b/2)

(0   0       3    0         -15|c+a) + a-(b/2)

Wie ist es jetzt?

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es geht endlich vorwärts, aber Du machst es etwas chaotisch. Das ganze heißt Treppenstufenform / Zeilenstufenform / Treppennormalform, weil, wenn Du alle 0 am Anfang einer Zeile entfernst, das Muster einer Treppe entstehen soll.

Du hast Dich schon im ersten Schritt verrechnet.

Im nächsten Schritt würde ich Zeilen 2 und 3 tauschen, um die Struktur einzuhalten (kein Zwang, aber sinnvoll). Und versuche, Brüche zu vermeiden (das ist nicht immer möglich, hier aber schon).

Grüße,

M.B.

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Mano schon beim ersten schritt habe ich einen fehler :(

( 1  -2   -2  0   0|- a)

(0  0   6  0   2| b)

(0  0  3   9  -8|c+a)

II - 2*III

( 1   -2    -2   0          0|- a)

(0   0       0   -18       18I b- 2(b+a)

(0   0       3    9            -8|c+a)

II * 1/18

( 1   -2    -2   0          0  |- a)

(0   0       0   -9         9I  a-(b/2)

(0   0       3    9         -8|c+a)

III + II

( 1   -2    -2   0          0  |- a)

(0   0       0   -9       9  I  a-(b/2)

(0   0       3    0         1 |c+a) + a-(b/2)

Gibt es einen anderen schritt als mit I * 2/3 ?

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Du hast Dich schon wieder verrechnet: rechts steht b-2(c+a).

Die Wahrscheinlichkeit, sich bei solchen Aufgaben zu verrechnen, geht gegen unendlich (streng math. natürlich nur gegen 1).

Grüße,

M.B.

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II - 2*III

( 1   -2    -2   0          0|- a)

(0   0       0   -18       18I b- 2(b+a)

(0   0       3    9            -8|c+a)

II * 1/18

( 1   -2    -2   0          0  |- a)

(0   0       0   -9         9I  a-(b/2)

(0   0       3    9         -8|c+a)

III + II

( 1   -2    -2   0          0  |- a)

(0   0       0   -9       9  I  a-(b/2)

(0   0       3    0         1 |b-2(c+a).

danke

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schon ganz oben, neben der ausgebesserten 18.

Grüße,

M.B.

Answer 2

x5=3

x4 beliebig etwa x4=t

x3 + 3t  - 8 = -2

x3 = 6 + 3t

x2 beliebig etwa s

x1  -2s -2*( 6 + 3t) = 4

x1 = 2s +6t + 16

also Lösungsvektor

(  2s +6t + 16 ; s ; 6 + 3t ; t ; 3 )

= (16 ; 0 ; 6 ; 0 ; 3 ) + s* ( 2 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ) + t * ( 6 ; 0 ; 3 ; 1 ; 0 )

Basis Kern

  ( 2 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 )   ;   ( 6 ; 0 ; 3 ; 1 ; 0 )

Comments

Hallo mathef,

kannst du mir erklären wie du auf die Bases gekommen bist?

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Hallo mathef,

Deine Basis ist falsch.

Mit v = a*b1 + b*b2 = (2a+6b,a,3b,b,0) gilt

M*v = (0,18b,18b)

Wenn (b1, b2) Basis des Kerns ist, muss für jede beliebige Linearkombination der Basisvektoren (0,0,0) herauskommen.

Grüße,

M.B.

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Danke für den Tipp. Ich hatte einfach die

Matrix aus dem Kommentar genommen.

Die war wohl nicht ganz richtig.

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natürlich ist die falsch. Ich versuche seit Stunden samira zu erklären, was sie machen soll, aber die hört ja nicht zu.

Grüße,

M.B.

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Na dann weiterhin viel Erfolg!