Sei M eine Gruppe. Zeigen Sie: die Gleichung g x = h hat für jedes g, h ∈ M genau eine Lösung x.

Question

ich habe diese Aufgabenstellung gegeben:

1. Sei M eine Gruppe. Zeigen Sie: die Gleichung  g x = h  hat für jedes g, h ∈ M genau eine Lösung x. 

   Ich kenne (idealerweise) die Gruppenaxiome, kam bisher auch mit allen Aufgaben zurecht, aber über diese bin ich jetzt gestolpert und habe nicht mal einen Ansatz finden können wie ich denn vorgehen könnte.

   Könnte mir vielleicht jmd. behilflich sein:)

Answer 1

Wenn g x = h ist dann muss auch g^-1 (g x) = g^-1 h sein. Mittels Assoziativität, Inverses und Neutralität lässt sich diese Gleichung zu x = g^-1 h umformen. Wenn es also eine Lösung gibt, dann muss diese  g^-1 h sein.

Dass es sich bei g^-1 h tatsächlich um eine Lösung handelt kann man durch Einsetzten zeigen.

Answer 2

g * x = h    ,   g,h ∈ G    #

Es ist zu zeigen, dass genau ein x ∈ G existiert, das die Gleichung # erfüllt:

Eindeutigkeit von x:

Angenommen, es gibt  x ∈ G, das die Gleichung erfüllt,

dann gibt es zu g das inverse Element  g^-1 ∈ G .  Wenn man dieses mit g*x  bzw. h verknüpft, ist das Verknüpfungsergebnis ∈ G und eindeutig bestimmt:

g^-1 * ( g * x ) = g^-1 * h

Assoziativgesetz   →         ( g^-1 * g ) * x  = g^-1 * h

Mit n = neutrales Element ∈ G  erhält man

n * x =  g^-1 * h  →  x =  g^-1 * h    →  es kann höchstens ein solches x existieren.

Existenz von x:

Einsetzen in #  →  g * ( g^-1 * h ) 

=_AG  ( g * g^-1 ) * h  =_NE   n * h =_NE =  h 

Also erfüllt  x =  g^-1 * h  als einziges Element von G  die Gleichung #

Gruß Wolfgang

Answer 3

Beweis fuer: Es gibt Lösung

g * x=h, x=g# * h

g*x=g*(g# * h)=(g* g#) * h=n*h=h

Beweis für: Die Lösung ist einzigartig.

sei g * x1 =h, g * x2 =h,

dann gilt g# * ( g * x1) = g# * ( g * x2)

dann gilt (g#  * g * x1 = (g# * g) * x2---->x1=x2

damit ist Beweis fertig :D