Gruppe (M, ♥) sowie a, b ∈ M. Beweisen Sie, dass dann genau ein x ∈ M eine Lösung der Gleichung a♥x = b darstellt.

Question

Wir betrachten eine Grupppe (M, ♥) sowie a, b ∈ M. Beweisen Sie, dass dann genau ein x ∈ M eine Lösung der Gleichung a♥x = b darstellt.

Könnt ihr weiterhelfen?

Answer 1

Hallo

 multipliziere mit dem Inversen von a.

Gruß ledum

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Das bedeutet ich muss mich hier an die Definitionen halten. Also so wie eine Gruppe definiert ist.

(V1)∀ a, b, c ∈ M : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (Assoziativgesetz)
(V2) ∀ a ∈ M ∃ e ∈ M : a ◦ e = e ◦ a = a (Existenz eines neutralen Elements)
(V3) ∀ a ∈ M ∃ a^−1 ∈ M : a ◦ a ^−1 = a^−1 ◦ a = e (Existenz eines inversen Elements)

Wenn ich jetzt (V2) heranziehe komm ich dem ganzen schon ziemlich nah. Das wäre in meinem Fall:

∀ a ∈ M ∃ e ∈ M : a ♥ e = e ♥ a = a wie komme ich hier auf das b?

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Also zb so:

Angenommen es ex. a,b ∈ M mit a ♥ x = a = x ♥ a und b ♥ x = b = x ♥ b.

Dann gilt: 

Und hier steh ich am Schlauch, falls man es so lösen kann. Wie muss ich hier weiter vorgehen?

Answer 2

  Es hinge daran, welches Interesse du ganz persönlich an Grundlagenfragen der Algebra mitbringst. Es ist nämlich zweierlei, ob du einfach deinen Assistenten befriedigst oder ob du wirklich den Hintergrund dieser Aufgabe blickst.

  Wie du sicher weißt, einigte man sich bei den Gruppenaxiomen darauf, das Kommutativgesetz fallen zu lassen;  a b ist nicht das selbe wie b a . Z.B. Drehumgen um einen Punkt P0 in der Ebene vertauschen. Aber Drehungen im Raume tun es nicht. ===> Werner Martienssen gibt ein -experiment an mit einem Pappwürfel, den du mit sechs verschiedenen Farben Buntpapier beklebst oder mit Zahlen von 1 - 6 kennzeichnest; die genauen Konventionen kannst du von mir haben. Das Ergebnis ist immer wieder überraschend.

    In der Literatur fand ich ein weiteres schönes Beispiel; die Symmetriegruppe eines Quadrates. Hier wäre ein quadratisches Glasplättchen hilfreich, dessen Ecken du wieder markierst. Diese Gruppe hat acht elemente

    1) das neutrale

    2) drei Drehungen um die z-Achse

    3)  Spiegelung um die beiden Mittelparallelen

    4) Spiegelung um die beiden Diagonalen



    Stell ruhig mal die Gruppentafel auf; dann wirst du nämlich sehen, dass das Ergebnis einer Symmetrieoperation von der Reihenfolge abhängt.

  eine ganz komplizierte Gruppe: der Rubikwürfel, der übrigens bewirkte, dass der Gruppenbegriff popularisiert wurde.

    Ein Motiv, auf Kommutativität zu verzichten, wäre also, dass man sonst für die wichtigsten Symmetrien kein Werkzeug mehr hätte. Aber es gibt eben noch weit mehr Gründe; und je früher du sie kennen lernst, desto besser.

  Nun gibt es in einer Gruppe das neutrale e so wie die Inversen a ^  - 1    Und da gilt doch


        e  x  =  x  e      (V)  x  (  1a  )

      a  ^ - 1  a  =  a  a ^ -  1  =  e    (  1b  )


      Jetzt läge an sich die frage nahe: Wenn doch eine Gruppe nicht notwendig kommutativ ist. Woher weiß man denn, dass ausgerechnet e mit allen Elementen vertauscht und dass jedes a mit seinem Inversen vertauscht? Bitte denke jetzt mal echt matematisch; axiomatisch FORDERN kannst du das unmöglich. woher willst du z.B. wissen, was in einer -gruppe mit über-über-über-über ... abzählbar vielen Elementen passiert?

  Nur mal auf die GEDANKENLOSIGKEIT der größten Teoretiker hinzuweisen. Es gibt ein russsisches Standardwerk über Gruppenteorie aus dem Jahre 1940 - leider sind mir die Verfasser entfallen; du müsstest dich erkundigen. Da hat noch keine 200 seiten;  aber wennde alles kannst, was da drin steht.  Dann kannste Gruppenteorie ...

    Und diesem Knaben dämmerte damals keinen Augenblick, dass ( 1ab ) ein Problem sein könnte. Urkundlich nachgewiesen ist es wohl in so AGULA Büchern wie Kowalsky und Greub, die erst lange nach dem 2. Weltkrieg  verlegt wurden.

  Ich errege hideer ja immer wieder Anstoß, weil ich fleißig bin.    Schon als Student bemühte ich mich, die Gruppenaxiomatik auf eine saubere Grundlage zu stellen; was heraus kommt,  ist - erstaunlich genug - eine Baumstruktur. Ich musste mir erst mal eine ganz neue Begriffswelt schnitzen wie " lokal linksneutral " u d " Linkseins. "  Wenn dich meine diesbezpglichen Gedanken intressieren, lass es mich wissen.

  Mein hoch verehelichter Lehrer " Lotar "  hätte zu deiner Aufgabe typisch bemerkt

  " Wenn man schon wüsste, dass ( 1ab ) gelten, wäre es ja trivial. "

  Mein Assistent wusste übrigens zu vermelden, dass wenn du LINKSneutral und RECHTSinvers forderst. Das gibt i.A. keine Gruppe;  da muss dann nicht mehr notwendig ein Rechtsneutrales oder Linksinverses existieren.

  Normale Menschen glauben einfach an ( 1ab ) und hinterfragen das nicht weiter.    Jetzt ist x die Unbekannte; und du sollst lösen


              a  x  =  b    |    a  ^  -  1  *      (  2a  )


      Erläuterung zu ( 2a ) ;  " Stern rechts "  soll immer bedeuten, dass du mit ( dem Inversen )  von Links multiplizierst ( weil das ja un einer  Gruppe nicht notwendig gleich ist )  Es wird unsere Strategie, um a durch sein Inverses zu eliminieren, damit x isoliert dasteht.


      a ^  -  1  (  a  x  )  =  a ^  -  1  b    (  2b  )

    ACHTUNG !!!  a ^  - 1  b  ist i.A. etwas  ANDERES  als  b a ^ - 1


    (  a ^  -  1  a  )  x  =  a ^  -  1  b      (  2c  )

    In ( 2c )  wurde das Assoziativgesetz beachtet.


      e  x  =  x  =  a ^  -  1  b      (  2d  )

    Das alles ist dir ja nicht neu; in der Schule bist du ja analog vorgegangen.

  Ich hatte mal einen Assistenten

  " Die Erstsemester können überhaupt nichtdenken  - ich meine denken in einem ganz alltäglichen Sinne. "

  Warum reicht ( 2d ) noch nicht? Die logische Wenn-Dann-aussage wäre doch


    (  2a  )  ===>  (  2b  )  ===>  (  2c  )  ===>  (  2d  )

  Unter der  VORAUSSETZUNG

  ( " Wenn das Wörtchen ' Wenn '  nicht wär ... " )

  dass es in deiner Gruppe ein Element x gibt, welches ( 2a ) befriedigt, kann es nur dieses eine sein, das wir in ( 2d ) gefunden haaben ( eindeutigkeit )  Jetzt haben wir noch EXISTENZ zu zeigen, indem wir tatsächlich nachprüfen, ob dieses x auch unser ( 2a ) befriedigt.

  Übrigens werden dir in deiner Karriere immer wieder solche Teoreme begegnen; " Existenz und eindeutigkeit " ( einer Zerlegung oder z.B. der Lösung eines Gleichungssystems. )

  Setzen wir also ( 2d ) ein ( in ( 2a )


        a  (  a  ^ -  1  b  )  =  (  a  a  ^ -  1  )  b  =  e b  =  b    ;    wzbw    (  3  )


  ein nettes Spielchen; in ( 2a ) hatten wir das Inverse von Links dran multipliziert; in ( 3 ) dagegen fungiert es als Rechtsinverses.

  Und jetzt kommt ein Punkt drei Mal rot unterstrichen für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel. Wegen dieser Eindeutigkeit; wenn du also mit dem Finger eine Zeile der Gruppentafel nach Rechts verfolgst oder eine Spalte nach Unten.

  Was du bekommst, ist immer eine PERMUTATION  der Gruppenelemente.

  Jedes kommt dran - aber nur einmal. Nur die Reihenfolge ändert sich.

  Das sind so Grundwahrheiten. Wenn du da jetzt den Anschluss verlierst, wirst du immer wieder Probleme haben.

Comments

axiomatisch FORDERN kannst du das unmöglich.

Warum nicht?

Eine solche Forderung ist in Sekunden aufgeschrieben:

∃!e∈G∀g∈G: ge=g ∧ eg=g

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  Ich erinnere dich an meinen Assistenten Gottschalk. Angenommen du forderst linksneutral und rechtsinvers.

   Dann passiert dir das Malheur

  1) Die linksinversen müssen keines Wegs eindeutig sein.

   2)  Ein rechtsinverses muss nicht existieren.

   3) Auch die rechtsinversen sind i.A. nicht eindeutig.

   4) Und die Linksinversen existieren wieder nicht.

   Es ist doch völlig unsinnig. So bald ich das Kommutativgesetz fallen lasse, taucht ZWANGSLÄUFIG die Frage auf:

  " Gibt es eine Gruppe, wo das Linksneutrale nicht gleichzeitig rechtsneutral ist? Gibt es vielleicht ein Element, das nicht mit seinem Inversen vertauscht? "

  Sowas kann man doch nicht VERBIETEN;   viel mehr ist es die -aufgabe des Matematikers nachzusehen, was da los ist.

  Die Stärke der gruppenaxiome wird bereits hier spürbar. Wir halten alles bewusst nebulös; so uneindeutig wie gerade noch möglich.

  Und werden beschenkt mit der eindeutigen Auflösbarkeit vom Gleichungen.

   Noch'n Gedicht.

   Eine Gruppe ist eine ( nicht leere ) Menge + abgeschlossen + assoziativ.

    Und jetzt forderst   du

   (V)  ( a ; b )  (E)  x  =  x  ( a ; b )  |  a  x  = b       (  1  )         

  (V)  ( a ; b )  (E)  y  =  y  ( a ; b )  |  y  a  = b        (  2  )

   ist eine Gruppe. Es steht NICHT da, dass diese Elemente x und y eindeutig seien ===>  Auswahlaxiom    Weiters wird in Axiomenm ( 1; 2 ) nicht behauptet, dass es einen Akgoritmus gebe, ( 1;2 ) aufzulösen nach  x und y ( was ja offensichtlich der Fall ist. )