g * x = h , g,h ∈ G #
Es ist zu zeigen, dass genau ein x ∈ G existiert, das die Gleichung # erfüllt:
Eindeutigkeit von x:
Angenommen, es gibt x ∈ G, das die Gleichung erfüllt,
dann gibt es zu g das inverse Element g-1 ∈ G . Wenn man dieses mit g*x bzw. h verknüpft, ist das Verknüpfungsergebnis ∈ G und eindeutig bestimmt:
g-1 * ( g * x ) = g-1 * h
Assoziativgesetz → ( g-1 * g ) * x = g-1 * h
Mit n = neutrales Element ∈ G erhält man
n * x = g-1 * h → x = g-1 * h → es kann höchstens ein solches x existieren.
Existenz von x:
Einsetzen in # → g * ( g-1 * h )
=AG ( g * g-1 ) * h =NE n * h =NE = h
Also erfüllt x = g-1 * h als einziges Element von G die Gleichung #
Gruß Wolfgang