Funktion f diagonalisierbar, bei verschiedenen Körpern

Question

Ich weiss nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann, kann mir jemand damit helfen?

Comments

https://www.mathelounge.de/371889/bestimme-uber-welchem-korper-f-diagonalisierbar-ist

vielleicht helfen dir die Ansätze dort

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Danke für die Antwort, die aufgabe sieht genau gleich aus ja. Aber sie wurde nicht richtig gestellt. Muss ich nicht schauen ob die Matrix die die Funktion f beschreibt diagonalisierbar ist? Und genau da komme ich eben nicht weiter? :/

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Ja, du musst eine Matrix F für die Abbildung f finden und diese auf Diagonalisierbarkeit untersuchen.

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Wie würde ich denn diese Abbildungsmatrix rausfinden?

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Also die Grundidee wäre F=((x,y),(u,v))

und es muss gelten ((x,y),(u,v))*((a,b),(c,d))=((-a,-b),(-b,d))

Dann erhielte man 4 Gleichungen, die aber nur umständlich aufzulösen nach x,y,u,v sind.

Wahrscheinlich ist es besser, direkt nach Eigenwerten zu suchen:

FM=λM

---> -a=λa

        c=λb

       -b=λ*c

      d=λ*d

für |K=|R z.B:

wenn c=b=a=0, dann λ=1

λ=-1 , wenn d=c=b=0

und dann überlegen, ob es jetzt diagonalisierbar sein kann

Answer 1

Der Erste Schritt ist, für \(f\) eine Abbildungsmatrix \(F\) aufzustellen. Dafuer braucht man eine Basis von \(M_2(\mathbb{R})\). Es bietet sich die kanonische Basis \(B\) mit den Elementen \(E_{ij}=(\delta_{ij})\) an. Dann ist $$\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix}_B.$$ Fuer die Bilder erhaelt man: $$f(E_{11})=-E_{11}=\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}_B,\qquad f(E_{12})=-E_{21}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -1\\ 0\end{pmatrix}_B,$$

$$f(E_{21})=E_{12}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}_B,\qquad f(E_{22})=E_{22}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}_B.$$

Diese Koordinatenvektoren der Bilder der Basiselemente kommen in die Spalten der Abbildungsmatrix \(F\) für \(f\):

$$F= \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}.$$

Und jetzt eben wie ueblich weiter mit der Frage, ob \(F\) diagonalisierbar ist oder nicht.

Answer 2

Finde in ℂ eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix S, so dass D=S^-1fS ist. Überprüfe ob die Einträge von S, D und S^-1 auch in ℝ bzw. in ℤ/2ℤ existieren.