nullstellen Funktion 3. grades berechnen

Question

Die Funktion lautet:

f(x)= -1/2x^3+9/2x^2-12x+15/2

Ich soll die Nullstellen, Schnittpunkt mit y-Achse, Extrem- und Wendepunkte berechnen.

Für die Nullstellen brauche ich ja die Polynomdivision. Dafür muss ich ja die erste Nullstelle errraten, jedoch komme ich auf keine.

Des Weiteren würde ich gerne wissen, wie ich danach weitervorgehe, um die Schnitt-, Extrem- und Wendepunkte zu berechnen? Ich bin am verzweifeln und schreibe bald über dieses Thema eine Klausur.

Vielen Dank für die Mühe und Unterstützung!!

Comments

Ermittle die reelle Lösung der Gleichung \(x^3-9x^2+24x-15=0\) wie folgt. Substituiere \(x=\frac u3+\frac3u+3\) und erhalte nach einigen Umformungen \(\left(2u^3+81\right)^{\!2}=3645\). Berechne daraus \(u\) und daraus \(x\).

Answer 1

Hi eine Nullstellenberechnung kann man hier einfach machen.

Die Regel für Nullstellen ist:

1.) Rate eine Nullstelle von f(x), das geht natürlich besonders gut, wenn man einen TR hat, aber oft findet man Nullstellen durch einsetzen der Werte von -5 bis 5.

2.) Hier ist das Raten nur etwas schwieriger, alternativ kann man die Nullstelle durch ausklammern erhalten. Nach dem Ausklammern folgt dann eine Polynomdivision

3.) Extremwerte:

Hochpunkt: f'(x) = 0 und f''(x) < 0 (Zweite Ableitung)

Tiefpunkt: f'(x) = 0 und f''(x) > 0 (Zweite Ableitung)

4.) Wendepunkte:

f''(x) = 0 (Zweite Ableitung)

f'''(x) != 0 (Dritte Ableitung)

Die Ableitungen auf die Schnelle:

f'(x) = (-1/2)*3*x^2 + (9/2)*2*x -12 (Erste Ableitung) --> kürzer --> -(3/2)x^2 + 9x -12

f''(x) = (-(3/2)*2)*x + (9/2)*2 (Zweite Ableitung) --> -3x + 9

f'''(x) = ((-1/2)*3)*2) (Dritte Ableitung) --> -3

// Bitte die Vorfaktoren ausrechnen!

 ((-1/2)*3)*2) = -3/2

Comments

Das mit dem Raten der Nullstelle würde ich lassen  (vgl. meine Antwort)

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Richtig, allgemein funktioniert das "oft", hier aber nicht ;-) Ganz richtig!

Daher allgemein gesagt.

Zunächst versuchen -5 bis 5 einzusetzen, wenn da schon nix brauchbares raus kommt, dann geschickt umformen.

Beim Plotten sieht man, dass die Nullstelle bei 0,89... liegt (zugegeben schlecht zu erraten)

--> Wenn die Nullstelle nicht "erraten werden kann": Newtonsche Näherungsverfahren oder/und geschickt umformen (Faktorisieren/Substituieren/etc)

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> Zunächst versuchen -5 bis 5 einzusetzen, wenn da schon nix brauchbares raus kommt, dann geschickt umformen.

Wenn schon, dann wohl besser:

 -1/2x³+9/2x²-12x+15/2 = 0 | * 2

x³ - 9·x² + 24·x - 15 = 0 

und die Teiler von 15  ( ±1 , ±3 , ± 5 , ± 15 ) probieren

Wie soll er denn "geschickt umformen" ? 

Er müsste schon die "Cardanischen Formeln" benutzen, was wohl sehr lästig ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

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Absolut richtig!

@Wolfgang ich gebe dir mal ein +1, da ich deine Einwände sehr gut und auch (für andere) hilfreich finde ;-)

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Über so ein +1 freut man sich immer :-)

Answer 2

die Funktion hat nur eine reelle Nullstelle:   x ≈ 0.8961965972   (Rechnerlösung :-) , also keine Polynomdivision, sondern ein Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren).

Schnittpunkt mit y-Achse:   f(0) = 15/2  →  S_y ( 0 | 15/2 )

Extrempunkte:f '(x) = 0  lösen  (pq-Formel)   und Vorzeichenwechsel von f '(x) überprüfen.

 Wendepunkte: f "(x) = 0 lösen  (lineare Gleichung)  und Vorzeichenwechsel                     von f "(x) überprüfen.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Auch wenn die "Beste Antwort" schon vergeben wurde, fehlt mir die exakte Lösung.

Nach der PQRST-Formel (analog zur pq-Formel) lautet die reelle Nullstelle:

x₃ = 3-(3/2-sqrt(5)/2)^{1/3}-(3/2+sqrt(5)/2)^{1/3}

=   0.896196597264463466835052667171071907580582916769731486265...

(sqrt(x)=Quadratwurzel von x  und x^{1/3} ist 3. Wurzel von x )

Die beiden anderen Nullstellen sind komplex. siehe

http://www.lamprechts.de/gerd/php/_gleichung-6-grades.php

(mit LINK zur PQRST-Formel und 2 Lösungswegen)

Da jedoch kein mir bekannter Lehrer nach solch krummen Nullstellen fragt,

vermute ich Schreibfehler.

Oder es soll nur numerisch oder grafisch grob gelöst werden

Answer 4

Es gibt keine ganzzahöigen Nullstellen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2F2x%5E3%2B9%2F2x%5E22-12x%2B15%2F2%3D0

Kurvendiskussion hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Answer 5

zur Kontrolle dieser Link:

http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/