Wendepunkt kein Krümmungswechsel?

Question

habe da ein Problem bei einer Aufgabe. Und zwar sollen wir das Krümmungsverhalten folgender Funktion rechnerisch bestimmen:

f(x) = 1/20 x⁵ + 1/2 x⁴ + 3/2 x³

Dazu bilde ich erstmal die erste und zweite Ableitung:

f'(x)= 1/4 x⁴ + 2 x³ + 9/2 x²

f''(x)= x³ + 6 x² + 9x

Wenn man jetzt die Nullstellen ausrechnet, komme ich auf x₁=0 und auf x₂=-3

Wenn ich jetzt allerdings das Krümmungsverhalten untersuche, komme ich zu dem Ergebnis, dass das Krümmungsverhalten sich bei -3 nicht ändert, d.h., es bleibt vorher und nachher bei einer Rechtskrümmung.

Was habe ich falsch gemacht ?

für die Hilfe!

Answer 1

Du hast nichts falsch gemacht. \(f''(x)\) hat an der Stelle \(x=-3\) keinen Vorzeichenwechsel, da diese Stelle eine doppelte Nullstelle der zweiten Ableitung ist. Daher hat \(f\) dort auch keinen Krümmungswechsel.

Ich ergänze noch:
Daher liegt hier auch kein Wendepunkt vor.

Mehr dazu siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Flachpunkt

Comments

An der unteren Rechnung kann man die doppelte Nullstelle recht gut erkennen.

f''(x) = x^3 + 6·x^2 + 9·x

f''(x) = x·(x^2 + 6·x + 9)

f''(x) = x·(x + 3)^2

Wendepunkte f''(x) = 0

x·(x + 3)^2 = 0

x = 0 --> Einfache Nullstelle und damit Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und daher eine Wendestelle

x = -3 --> Doppelte Nullstelle und damit Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und daher nur eine Stelle für einen Flachpunkt.