Wendepunkt von x^5? Rechts-Links-Wendepunkt oder Links-Rechts-Wendepunkt oder doch Sattelpunkt?

Question

(1)

\(f(x)=x^5\) ; \(f'(x)=5x^4\) ; \(f''(x)=20x^3\) ; \(f'''(x)=60x^2\) ; \(f^{(4)}(x)=120x\) ; \(f^{(5)}(x)=120\) 

Da "\(f^{(n)}(x_W)\neq 0\) mit \(n>2\) und \(n\) ungerade" erfüllt ist, handelt es sich um einen Wendepunkt.

Wenn \(n\) gerade wäre, würde es sich dann um einen Sattelpunkt (SP) handeln?

Wenn es ein Wendepunkt ist, ist es ein Rechts-Links-Wendepunkt oder ein Links-Rechts-Wendepunkt?

Via Vorzeichenwechselkriterium ist es ein Rechts-Links-Wendepunkt, stimmt das?

(2)

Das Verfahren für den Sattelpunkt lässt sich verallgemeinern durch \(f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = f ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) = \cdots = f ^ { ( 2 n ) } ( x _ { 0 } ) = 0 \wedge f ^ { ( 2 n + 1 ) } ( x _ { 0 } ) \neq 0\)

Ich verstehe nicht ganz, was hier mit \(n\) gemeint ist. Oben ist es die \(n\)-te Ableitung...

Comments

Der Punkt \((0\vert 0)\) ist ein Rechts-Links-Wendepunkt und auch ein Sattelpunkt von \(y=x^5\).

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Nullstellen-Extremum-Rechts-Links-Sattel-Wendepunkt? :-D

Beides gleichzeitig ist möglich? Ob Rechts-Links- oder Links-Rechts-Wendepunkt, ist also mit dem VZW-Kriterium zu "berechnen" - das habe ich gemacht!

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Oh, oder ist das ein Flachpunkt?

https://de.wikipedia.org/wiki/Flachpunkt

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Nullstellen-Extremum-Rechts-Links-Sattel-Wendepunkt? :-D
Beides gleichzeitig ist möglich?

Du hast dich schon verständlicher ausgedrückt...

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Ich dachte, dass ein Punkt entweder Sattel- oder Wendepunkt sein kann.

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Das ist in mehrerlei Hinsicht falsch. Ein Punkt kann
(1) weder Sattel- noch Wendepunkt oder 
(2) nicht Sattel-, wohl aber Wendepunkt oder
(3) Sattel- und damit auch Wendepunkt
sein.

Answer 1

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente.

Weil bei x = 0 ein Wendepunkt ist, und zusätzlich f'(0) = 0 ist, handelt es sich bei dem Wendepunkt um einen Sattelpunkt.

Wären die ersten fünf Ableitungen Null und die sechste Ableitung nicht Null, dann wäre es ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Via Vorzeichenwechselkriterium ist es ein Rechts-Links-Wendepunkt, stimmt das?

Ja. Das hätte man aber auch an f⁽⁵⁾(0) > 0 sehen können.

Ich verstehe nicht ganz, was hier mit n gemeint ist. Oben ist es die n-te Ableitung...

n ist nicht die n-te Ableitung (auch oben nicht). f⁽ⁿ⁾ ist die n-te Ableitung. f⁽²ⁿ⁺¹⁾ ist die (2n+1)-te Ableitung.

Das 2n+1 in f⁽²ⁿ⁺¹⁾ soll lediglich sicher stellen, das ungerade oft abgeleitet wurde.