Eigenwerte berechnen geht nicht auf?

Question

ich hab kleines Problem bei folgender Aufgabe:

Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix A: (an sich ja kein Hexenwerk die Aufgabe, ich weiß)

A =

0	0	2
0	0	1
1	2	3

Bei der Aufgabenstellung dabei folgender Hinweis:
Einer der Eigenwerte ist 4.

Wenn ich das charakteristische Polynom aufstellen will (Regel von Sarrus):

p(x) = (-x)(-x)(3-x) = x² (3-x) = -x³ +3x²

denn der Rest ergibt ja Null!?

In der Musterlösung der Aufgabe ist folgendes p(x) gegeben:

-x³ + 3x² + 4x

Auch der Eigenwertrechner von Arndt Brünner gibt das Polynom wie in der Musterlösung raus...

WIE kommt man da drauf???

WO ist mein Fehler? Stehe total auf dem Holzweg.

:/

Answer 1

-x      0         2
0      -x        1
1       2         3-x

Sarrus:

-x*-x*(3-x)   + 0    +0     -   2*-x*1   -  -x * 1 * 2  - 0

= 3x^2 - x^3  + 0    + 0     +2x   +2x   - 0

Passt!

Comments

Rechts unten in der Matrix sollte es  3 - x  heißen.

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Danke, hab's korrigiert.

Answer 2

det(A-λE) =  0-λ    0      2      0 -λ    0

                    0     0-λ      1       0     0-λ

                    1     2       3-λ      1      2

det(A-λE) = ( -λ) *( -λ) *(3-λ) - (-2λ -2λ)

= λ^2 (3-λ) +4 λ

=3 λ^2 -λ^3 +4 λ

= -λ^3 +3 λ^2 +4 λ

Die Musterlösung stimmt.

PS: Es müssen noch 2 senkrechte Stiche vor der 1. Spalte und nach der 3 .Spalte stehen.