"B) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P(1|4) einen Extrempunkt und in Q(0|2) einen Wendepunkt hat. "
Zeichne P und Q im Koordinatensystem ein und skizziere die zur Funktion gehörende Kurve.
Aus Symmetriegründen ist R(-1|0) ebenfalls ein Extrempunkt. (==> x = -1 ist doppelte Nullstelle)
Ansatz:
f(x) = a ( x+1)^2 (x+b)
Nun noch
f(0) = 2
und
f(1) = 4 benutzen, um a und b auszurechnen.
f(0) = a ( 0+1)^2 (0+b) = 2
a*1^2*b= 2
ab = 2
a = 2/b
f(1) = a ( 1+1)^2 (1+b) = 4 | a einsetzen
2/b * 4* ( 1+b) = 4
2/b * (1+b) = 1
2*(1+b) = b
2 + 2b = b
b = -2
a = 2/b
a = 2/(-2) = -1
f(x) = -1 ( x +1)^2 (x-2) | Wenn gewünscht noch Klammern auflösen
f(x) = -1 ( x^2 + 2x + 1)(x-2)
f(x) = -1 ( x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2)
f(x) = -x^3 + 3x + 2
Kontrolle:
~plot~ -1 ( x +1)^2 (x-2) ; {0|2} ; {1|4}; [[-8|8|-5|5]] ~plot~
