Aufgabe 1:
Kann man die Funktion \( f(x,y) = \frac{x*y^2}{x^2+y^2} \) in (0|0) stetig ergänzen?
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y)=x²-x*y+y²+9x-6y+17
Lösungen:
Aufgabe 1:
\( D \epsilon R^{2}\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=0 \rightarrow(x, y)=(0,0)\right. \)
Betrachte \( \lim \limits_{ (x,y)(0,0) }{ f(x,y) } \) auf geraden Weg y=m*x
\( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=\lim \limits_{x \longrightarrow 0 \atop y \longrightarrow 0} \frac{x^{*} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim \limits_{x \longrightarrow 0} \frac{x^{*} m^{2} \cdot x^{2}}{x^{2}+m^{2} * x^{2}}=\lim \limits_{x \longrightarrow 0} \frac{x^{*} m^{2}}{1+m^{2}}=0 \)
Da der Grenzwert \( f(x, y)=0\left(\lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} f(x, y)=0\right) \) unabhängig vom Weg(m) ist mit f(0,0) = 0 die Definitionslücke stetig geschlossen.
Aufgabe 2:
f(x,y)=x²-x*y+y²+9x-6y+17
→ fx(xe,ye)=0 und fy(xe,ye)
\( \rightarrow fy=\frac { Jf }{ Jy } |(xe,xe) =-xe+2ye-6=0\\ =-xe+2(2xe+9)-6=3xe+18-6=0\\ 3xe=-12\\ xe=-4\\ ye=2xe+9=-8+9=1\\ ye=1\\ \text{nur eine mögliche extreme existiert } (-4,1)\\ \begin{pmatrix} fxx & fxy \\ fxy & fyy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=2*2-1(-1)*(-1)=3 \)
Da \( f(xe,ye)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \) und \( f |xe,ye| = 3 > 0 ~ minimum ~ (-4,1) \)
