Mehrdimensionale Differentialrechnung: f(x,y) = x2 - x*y + y2 + 9x - 6y + 17

Question

Aufgabe 1:

Kann man die Funktion $f(x,y) = \frac{x*y^2}{x^2+y^2}$ in (0|0) stetig ergänzen?

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y)=x²-x*y+y²+9x-6y+17


Lösungen:

Aufgabe 1:

$D \epsilon R^{2}\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=0 \rightarrow(x, y)=(0,0)\right.$

Betrachte $\lim \limits_{ (x,y)(0,0) }{ f(x,y) }$ auf geraden Weg y=m*x

$\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=\lim \limits_{x \longrightarrow 0 \atop y \longrightarrow 0} \frac{x^{*} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim \limits_{x \longrightarrow 0} \frac{x^{*} m^{2} \cdot x^{2}}{x^{2}+m^{2} * x^{2}}=\lim \limits_{x \longrightarrow 0} \frac{x^{*} m^{2}}{1+m^{2}}=0$

Da der Grenzwert $f(x, y)=0\left(\lim \limits_{x \rightarrow 0 \atop y \rightarrow 0} f(x, y)=0\right)$ unabhängig vom Weg(m) ist mit f(0,0) = 0 die Definitionslücke stetig geschlossen.

Aufgabe 2:

f(x,y)=x²-x*y+y²+9x-6y+17

→ fx(xe,ye)=0 und fy(xe,ye)

$\rightarrow fy=\frac { Jf }{ Jy } |(xe,xe) =-xe+2ye-6=0\\ =-xe+2(2xe+9)-6=3xe+18-6=0\\ 3xe=-12\\ xe=-4\\ ye=2xe+9=-8+9=1\\ ye=1\\ \text{nur eine mögliche extreme existiert } (-4,1)\\ \begin{pmatrix} fxx & fxy \\ fxy & fyy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=2*2-1(-1)*(-1)=3$

Da $f(xe,ye)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ und $f |xe,ye| = 3 > 0 ~ minimum ~ (-4,1)$

Comments

Die Lösung zu Aufgabe 1 ist übrigens Unsinn. Das Ergebnis stimmt zwar, der Rechenweg ist aber völliger Mist. Genauso könnte man bei x²y/(x^4+y²) argumentieren; das ist aber nicht stetig fortsetzbar.

Answer 1

Aufgabe 2

f(x,y) = x² - x*y + y² + 9x - 6y + 17

df / dx = 2·x - y + 9
df / dy = -x + 2·y - 6

d^2f / dxdx = 2
d^2f / dxdy = -1
d^2f / dydx = -1
d^2f / dydy = 2

2·x - y + 9 = 0
-x + 2·y - 6 = 0
Lösung: x = -4 ∧ y = 1

Weil die Hesse Matrix positiv definit ist (alle führenden Hauptminoren sind hier positiv), haben wir bei (-4, 1) ein Minimum.

Comments

Vielen dank aber von wo kommen die 2*x aber her?

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Das sieht ja in etwa so aus wie die gegebene Lösung. Was verstehst du denn daran genau nicht?

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x^2 nach x abgeleitet ist 2x.

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Was soll das denn heißen?

"Es handelt sich hier offenbar um ein Minimum wegen der positiven 2. Ableitungen."

Betrachtet man (x²+y²)/2 + 2xy, so sind auch alle zweiten partiellen Ableitungen positiv (hier waren sie das ja gar nicht), die Funktion hat aber dennoch kein Minimum in Null. Wichtig ist, dass die Hesse-Matrix positiv definit ist.

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ja wie kommt man auf das :

df / dx = 2·x - y + 9
df / dy = -x + 2·y - 6

danke

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f(x,y) = x² - x*y + y² + 9x - 6y + 17

einmal den term nach x ableiten

x² --> 2x (Potenzregel xⁿ wird zu n * x^n-1)
-xy --> -y (ax wird zu a)
y² --> 0 (Konstante ohne x fallen weg)
9x --> 9 (ax wird zu a)
-6y --> 0 (Konstante ohne x fallen weg)
17 --> 0 (Konstante ohne x fallen weg)

Und genau so leitet man das nach y ab

x² --> 0 (Konstante ohne y fallen weg)
-xy --> -x (ay wird zu a)
y² --> 2y (Potenzregel yⁿ wird zu n * y^n-1)
9x --> 0 (Konstante ohne y fallen weg)
-6y --> -6 (ay wird zu a)
17 --> 0 (Konstante ohne y fallen weg)

Schau dir noch mal die Ableitungsregeln genau an.

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Vielen dank hier das war die aufgabe

und wie kommt man auf diese matrix da unten?

Aufgabe 2

Bestimmen Sie die  lokalen Extrema der Funkrion

f(x,y)=x²-x*y+y²+9x-6y+17

lösung:

f(x,y)=x²-x*y+y²+9x-6y+17



Vielen dank

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Das ist die Hesse Matrix. Wie man die einzelnen Elemente berechnet steht doch oben. Du nimmst die Ableitung nach x und y und leitest beide nochmals nach x und y ab. Damit hast du dann insgesamt 4 zweifache Ableitungen.

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wie könnten sie verlleicht hin schreiben !

vielen dank ihnen!

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Was verstehst du denn daran nicht?

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wie die in der matrix rein kommen die zahlen !

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Du nimmst f(x,y) = x² - x*y + y² + 9x - 6y + 17

leitest das jetzt 2 mal nach x ab.

df / dx = 2·x - y + 9 

und dann noch mal ableiten nach x

d²f / dxdx = 2

Das kommt dann oben links rein.

Allgemein sieht die Hesse matrix ja wie folgt aus

Die 4 Einträge habe ich ja oben ganz genau so beschriftet wie sie hier einzusetzen sind.

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also so

df/dx=2*x-y+9

=2

df/dxy=2*x-1y+9

=-1

df/dy=-x-6+2y=0

=2

df/dyx=-x-6+2y=0

=-1

 

Vielen Dank

also bei der aufgabe

f(xy)=y(1-x²-y²)

df / dx = 2x
df / dy = 2y

stimmt das?

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Nein das stimmt nicht. Beachte das es für dich eventuell einfacher ist das vorher auszumultiplizieren. Denn da steht ja noch ein y als Faktor vor der Klammer.

f = y·(1 - x^2 - y^2) = - x^2·y - y^3 + y

df / dx = - 2·x·y

df / dy = - x^2 - 3·y^2 + 1

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Die aufgabe geht nicht mehr  weiter!

kann nicht alleine x heruasfinden und y!!

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und stimmt das ?

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Ob was stimmt? Dass du die Nullstellen (x,y) der Ableitung nicht alleine herausfinden kannst?

Ja, offensichtlich schon...

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komme nicht weiter!

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Das dachte ich mir schon – aber wobei denn? Was hast du bisher schon selbst rechnen können? Wo liegen deine Probleme?

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muss ich etwar wieder ein ableitung machen von den :

df / dx = - 2·x·y

df / dy = - x² - 3·y² + 1

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weis net mehr hier weiter

df / dx = - 2·x·y

df / dy = - x² - 3·y² + 1

soll ich etwa nochmmal ableiten ?

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Zunächst solltest du verraten, wie die Aufgabe lautet. Sollst du lokale Extremstellen der angegebenen Funktion suchen?

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ja die lokalen Extrema der Funktion!

für die gleichung

f = y·(1 - x² - y²) = - x²·y - y³ + y

 

lösungs ansatnz :

df / dx = - 2·x·y

df / dy = - x² - 3·y² + 1

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Ich mache dafür mal eine Neue Aufgabe. Hier bitte nicht mehr reinschreiben.

Die Frage ist jetzt wie folgt zu erreichen:

https://www.mathelounge.de/37700/lokale-extrema-f-x-y-y%C2%B7-1-x-2-…

Danke.