Matrizen: Inverse von ((2,1,4)(1,4,2)(4,1,2)) und Gleichungssystem 2x1+kx2=4; x1+x2=k

Question

a) berechnen sie die inverse Matrix A=   2     1     4

                                                                        1     4     2

                                                                        4     1     2

b)lösen sie das folgende lineare gleichungssystem in Abhängigkeit von kER

2x1+kx2=4

x1+x2=k

komme nicht weiter.. hoffe ihr könnt mir helfen

Answer 1

[2, 1, 4, 1, 0, 0]
[1, 4, 2, 0, 1, 0]
[4, 1, 2, 0, 0, 1]

[1, 4, 2, 0, 1, 0]
[2, 1, 4, 1, 0, 0]
[4, 1, 2, 0, 0, 1]

2*I - II, 4*I - III

[1, 4, 2, 0, 1, 0]
[0, 7, 0, -1, 2, 0]
[0, 15, 6, 0, 4, -1]

15*II - 7*III

[1, 4, 2, 0, 1, 0]
[0, 7, 0, -1, 2, 0]
[0, 0, 42, 15, -2, -7]

21*I - III

[21, 84, 0, -15, 23, 7]
[0, 7, 0, -1, 2, 0]
[0, 0, 42, 15, -2, -7]

I - 12*II

[21, 0, 0, -3, -1, 7]
[0, 7, 0, -1, 2, 0]
[0, 0, 42, 15, -2, -7]

2*I, 6*II

[42, 0, 0, -6, -2, 14]
[0, 42, 0, -6, 12, 0]
[0, 0, 42, 15, -2, -7]

1/42 * [-6, -2, 14; -6, 12, 0; 15, -2, -7] = [-1/7, -1/21, 1/3; -1/7, 2/7, 0; 5/14, -1/21, -1/6]

Comments

b)lösen sie das folgende lineare gleichungssystem in Abhängigkeit von kER

Ich ersetzte mal x = x1, y = x2

2x + ky = 4
x + y = k

I - 2*II

ky - 2y = 4 - 2k
y(k - 2) = 4 - 2k
y = (4 - 2k) / (k - 2) = -2(k - 2) / (k - 2) = -2 für k <> 2

Für k = 2 sind die Gleichungen abhängig uns es ergibt sich x = 2 - y

Answer 2

Zu a)

Verfahren:

Schreibe die ursprüngliche Matrix A hin und rechts daneben die "passende" Einheitsmatrix E.

Forme A durch elementare Matrixumformungen so um, dass aus ihr die Einheitsmatrix entsteht und nehme jede dieser Umformungen immer auch an der rechts daneben stehenden (ehemaligen) Einheitsmatrix vor.

Ist aus A die Einheitsmatrix entstanden, dann steht rechts daneben nun die zu A inverse Matrix A ^{- 1}. Diese lautet:

A ^{- 1} = -1/7 -1/21 1/3

          -1/7 2/7 0

          5/14 -1/21 -1/6

(sofern ich mich nicht verrechnet habe):

Zur Probe bilde die Produktmatrix A * A ^{- 1} . Diese muss die Einheitsmatrix sein.

 

Zu b)

Aus der zweiten Zeile folgt:

x1 ( k ) = k - x2 ( k )

Eingesetzt in die erste Zeile ergibt:

2 * ( k - x2 ( k ) )  + k * x2 ( k ) = 4

<=>  2 * k - 2 * x2 ( k ) + k * x2 ( k ) = 4

<=> k * x2 ( k ) - 2 * x2 ( k ) = 4 - 2 * k

<=> x2 ( k ) * ( k - 2 ) = 4 - 2 * k

<=> x2 ( k ) = - 2 * ( k - 2 ) / ( k - 2 )

<=> x2 ( k ) = - 2

Eingesetzt in die fett gesetzte Gleichung ergibt:

x1 ( k ) = k - ( - 2 ) = k + 2

Lösung:

x1 ( k ) = k + 2

x2 ( k ) = - 2

Beispiel:

Für k = 3 ergibt sich:

x1 ( 3 ) = 5 , x2 ( 3 ) = - 2

und damit sieht das Gleichungssystem so aus:

2 * 5 + 3 * ( - 2 ) = 4 (wahre Aussage)

5 + ( - 2 ) = 3 ( wahre Aussage)