grenzwert lim xgegen1 (x³-1)/(x²-1)

Question

lim xgegen1 (x³-1)/(x²-1)

und lim x gegen 1    1/(x-1)

??? -  geht das einfach ohne h methode und testeinsetzung ?

Answer 1

lim_x→1  (x³-1) / (x²-1)  = lim_x→1 [ (x - 1)·(x² + x + 1)] / [ (x-1) · (x+1) ]

x-1 kann man wegkürzen:

=  lim_x→1  (x² + x + 1) / (x+1) = 3/2

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lim_x→1+  1/(x-1)  = [ " 1/0+" ]   = ∞ ;   lim_x→1-  1/(x-1)  = [ " 1/0-" ]  = - ∞

hier gibt es also nur "uneigentliche" einseitige Grenzwerte

sieht man durch "genaues Hinsehen"  (sonst h-Methode)

Gruß Wolfgang

Comments

(x - 1)·(x² + x + 1) = x³-1

wie kommt man darauf??

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Dass x-1 ein Linearfaktor von x³ - 1 ist, erkennst du daran, dass letzteres für x=1 auch den Wert 0 hat.

Dann hilft nur eine Polynomdivision:

 (x³-1) : (x - 1) = x² + x + 1

(sonst h-Methode)

Answer 2

lim xgegen1 (x³-1)/(x²-1)

Answer 3

lim x--> 1 1/(x-1) existiert nicht (linksseitiger Grenzwert ungleich rechtsseitiger Grenzwert)

Comments

wie heißt das sonst wenn nicht grenzwert?

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Was nicht existiert hat auch keinen Namen :p

Man sagt einfach der Grenzwert existiert nicht.

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Du solltest zwei Dinge unterscheiden:

lim (x --> 1-) 1/(x - 1) = ...

lim (x --> 1+) 1/(x - 1) = ...

Also einmal wenn x von unten gegen 1 läuft und einmal wenn x von oben gegen 1 läuft.