Grenzwerte Frage konvergent divergent

Question

Hallo ich verstehe bei einer Aufgabe nicht warum der limes bei einer Nullstelle gegen +-unendlich gehen kann während es bei der anderen Nullstelle für die selbe Aufgabe gegen eine Zahl geht.

Ein Beispiel hierfür wäre z.B.f:x=((x-1)(x-2))÷((x+1 )(x-2))

Für die Nullstelle -1 grenzen sie von einer Richtung auf +unendlich und von der anderen auf-unendlich während es auf 2 grenzt 1/3 als Ergebnis rauskommt.

Warum kommt für die Nullstelle 2 eine Zahl raus während es bei einer anderen Nullstelle gegen Unendlich grenzt?

Danke schonmal für alle Antworten

Answer 1

das liegt daran, dass sich der Linearfaktor  x-2  aus dem Nenner wegkürzen lässt:

f(x) = ((x-1) (x-2)) / ((x+1 ) (x-2)) =_x≠2  (x-1) / (x+1)  →_x→2  1/3

x=2 ist eine "stetig behebbare Lücke":

Die Graphen  von f und  der gekürzten Funktion unterscheiden sich nur durch ein "Loch" bei x=2. Die Funktionen haben deshalb den gleichen Grenzwert für x→2

Gruß Wolfgang