lim x->0. x²/tan(x²). Wie berechne ich diesen Grenzwert möglichst schnell?

Question

Wie berechne ich den Grenzwert möglichst schnell?

\( \frac{2 x \tan \left(x^{2}\right)-x^{2}\left(\frac{4 x}{\cos \left(2 x^{2}\right)}+1\right)}{\tan ^{2}\left(x^{2}\right)} \)

Ich würde gerne einen Lösungsweg kennen um lim n->0 x²/tan(x²) so schnell wie möglich zu berechnen. Diese Aufgabe war eine Übungsaufgabe und ich bin einfach nicht in der Lage die Aufgabe in einem angemessenen Zeitraum zu lösen. Zunächst erhält man ja 0/0 was undefiniert ist, also wendet man l'Hospital an. Dann erhalte ich jedoch die Ableitung:

Wenn ich da nun wieder 0 einsetzt, lande ich wieder bei 0/0 und müsste erneut alles ableiten. Die Klausur dauert anderthalb Stunden und es werden um die 15-20 Aufgaben dieser Form werden, vielleicht bin ich einfach langsam aber das muss doch schneller gehen bei der Zeitauslegung?

Comments

Deine Formel in der Lösung sieht eher so aus, wie wenn da die Funktion als Ganzes nach der Quotientenregel abgeleitet worden wäre.

Wenn du einen Limes berechnen willst, musst du nach Hospital Zähler und Nenner separat ableiten.

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Geht es hier um den Grenzwert n gegen unendlich oder n gegen 0

Und was machst du mit der Regel von l'Hospital. Zähler und nenner werden getrennt abgeleitet und nicht nach quotientenregel.

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Es soll der lim von x->0 berechnet werden, mehr steht da nicht. Das n ist durch x zu ersetzen und es muss gegen 0 und nicht gegen unendlich gehen, da habe ich falsch abgeschrieben gerade.

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Super das war alles was ich wissen musste :D

Answer 1

lim (n→0) n^2 / tan(n^2)

l'Hospital

= lim (n→0) 2·n / (2·n/COS(n^2)^2)

= lim (n→0) COS(n^2)^2

Da kann man jetzt einfach für n = 0 einsetzen und erhält 1 als Grenzwert.

Comments

Es ist aber lim (n→0) n² / tan(n²)

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Ah sorry. Hab ich eben verbessert. Das macht die Sache aber auch nicht viel schwieriger. Hättest du also auch selber mal probieren können.

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Hab ich auch, war mir nur nicht mehr sicher ob überhaupt noch jemand antworten würde :D

Ich habe nun 2x/4x/(cos(2x²)+1) <=> (2x*(cos(2x²)+1))/4x nur komme ich nicht auf

cos(x²)²

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Ähm was ist die Ableitung von
TAN(n^2)

Innere Ableitung 2n

Äußere Ableitung 1/COS(n^2)^2

macht zusammen 2n/COS(n^2)^2

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Kann man x^2 nicht von Anfang an durch u ersetzen und dann nur u> 0 betrachten?

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OK (TAN(n))'=1/COS(n²)² war mir nicht bekannt

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Ich weiß nicht warum ich oben n statt x genommen habe.
Die Ableitung vom TAN(x) darf man wissen. Sollte man sich aber im Zweifel auch herleiten können.

(TAN(x))' = 1 / COS(x)^2

Die Ableitung von TAN(x^2) kenne ich so direkt nicht kann ich mir aber auch mit Kettenregel herleiten.

(TAN(x^2))' = 2x / COS(x^2)^2

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@Lu

"Kann man x² nicht von Anfang an durch u ersetzen und dann nur u> 0 betrachten?"

Schöner Beitrag. Wenn man geschickt sein will dann darf und sollte man das sogar tun :)

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@mathecoach
(* Scherzmodus an
Aufgrund meiner tollen Beantwortung der Kirschsirup-Frage
habe ich eine Deppen-Frage bei dir frei.
[ tan ( x ) ] ´ = [ tan ( x ) ]^2 + 1
Wie kommst du auf die Ableitung mit cos ?
Scherzmodus aus *)
mfg Georg

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Nun weiß ich nicht, ob die die Frage wirklich ernst ist wegen dem Scherzmodus aber:

TAN(x)^2 + 1

= (SIN(x)/COS(x))^2 + 1

= SIN(x)^2 / COS(x)^2 + 1

= SIN(x)^2 / COS(x)^2 + COS(x)^2 / COS(x)^2

= (SIN(x)^2 + COS(x)^2) / COS(x)^2

Beachte: SIN(x)^2 + COS(x)^2 = 1

= 1 / COS(x)^2

Letztere Ableitung finde ich persönlich schöner obwohl die erste natürlich auch richtig ist.

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Lu hat auch schon geantwortet. Siehe den Kommentar unter
meiner Antwort.

Da ich Autodidakt bin liegt bei mir Wissen manchmal neben
abgrundtiefem Nichtwissen. Deshalb frage ich vielleicht mitunter
Sachen die jemandem der einen systematischen Unterricht durchlaufen
hat bereits klar sind.

mfg Georg

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Ich weiß gar nicht ob ich selber den trigonometrichen Pythagoras selber mal im Unterricht gehabt habe. Sicher eigentlich bei der Betrachtung beim Einheitskreis. Aber so richtig gebraucht habe ich den während der Schulzeit nie.
Während des Studiums habe ich den glaube ich auch nicht gebraucht. Als Wirtschaftsinformatiker hat man mit den Winkelfunktionen meist etwas weniger zu tun :)

Aber ich erinnere mich an eine Schülerin die ich für 14 Tage in Mathematik zur Vorbereitung auf das Abitur in England betreuen durfte. Das Abitur dort ist sehr viel theoretischer als das hier in Deutschland und insbesondere viel theoretischer als das Abitur in Hamburg. Das war also quasi meine erste wirkliche Zusammenkunft mit dem trigonometrischen Pythagoras und den Additionstheoremen.

Und was habe ich damals gemacht. Als erstes haben wir uns die Formelsammlung geschnappt und jede einzelne blöde Formel aus der Rubrik hergeleitet. Das hat nicht nur der Schülerin viel gebracht sondern mir damals auch :) Und dann haben wir die Formelsammlung weggelegt und haben Abi Übungsaufgaben gemacht.

Zum Glück hatte die Schülerin von ihrem Lehrer genug Übungsaufgaben bekommen, wo auch alles dran vorkommt was für das Abi notwendig war.

Tja. Das soweit zu meiner autodidaktischen Einarbeitung in die Winkelfunktionen :)

Answer 2

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{tan(x^2)}=\overbrace {\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2 cos(x^2)}{sin(x^2)}}^{tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}}=\overbrace{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2x cos(x^2)-2x^3sin(x^2)}{2x\cdot cos(x^2)}}^{Regel\quad von \quad L’Hospital}\\=\lim_{x\rightarrow 0}\left(1-\frac{x^2sin(x^2)}{cos(x^2)}\right)=1$$

Answer 3

lim x -> 0  [ x² / tan ( x² ) ]
z = x^2
lim z -> 0  [ z  / tan ( z ) ]
l´Hospital
1 / [ tan^2 ( z ) + 1 ]
1 / 1 = 1

Die Variante ist aber deutlich kürzer als die
anderen Lösungen.

Lim x durch lim z  zu ersetzen ist vielleicht
nicht ganz sauber, dürfte aber richtig sein.

mfg Georg

Comments

georgborn: Mathecoach hatte zuerst intuitiv mit x^2=n gerechnet und daher deine Lösung schon hingeschrieben. Nachträglich wurde dort dann noch rumkorrigiert ;)

sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Daher ist 1 + tan^2(x) = 1/cos^2(x).

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@Lu
schönen Dank für die Herleitung.
Auf den Gedanken den trigonometrischen
Pythagoras umzustellen wäre ich von allein
nie gekommen.
mfg Georg

Answer 4

Mit L'Hospital ableiten heisst NICHT, dass du jetzt die Quotientenregel anwenden musst!

Die Funktionen im Zähler und im Nenner sind UNTERSCHIEDLICH, d.h der Bruch ist nicht eine Funktion, sondern mehrere seperate!

 

deswegen

 

f(x)                f'(x)

----   ------->  -----

g(x)               g'(x)

 

Niemals hier die Quotientenregel anwenden.