Theorie Differenzieren

Question

Sei f:ℝⁿ→ℝ und g:ℝⁿ→ℝ differenzierbar. Dann ist auch h=f°g differenzierbar und es gilt: Dh(x)=f'(x)∇g(x).

Also differenzierbar ist sie auf alle Fälle aber ich bin mir nicht sicher ob sie in diesen Sinne differenzierbar ist. Was wären wenn es so dastehen würde ||h'(x)||=||f'(x)∇g(x)||

Hoffe mir kann da jemand helfen und erklären warum sie so differenzierbar ist denn die Frage ist jetzt schon öfter aufgetaucht.

Comments

Soll es heißen \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)?

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Nein f bildet von ℝ auf ℝⁿ  und g genau umgekehrt. Tut mir leid g habe ich verkehrt herum aufgeschrieben. Von ℝⁿ bildet g auf ℝ ab.

Answer 1

Das nennt man Kettenregel und der Beweis steht im Buch. Richtig lautet es ausserdem $$Dh(x)=f'(g(x))\nabla g(x)=\begin{pmatrix}f'_1(g(x))\\ \vdots\\ f'_n(g(x))\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x_1}(x)&\ldots&\frac{\partial g}{\partial x_n}(x)\end{pmatrix}.$$

Comments

Ja das es sich im Prinzip um die Kettenregel handelt war mir natürlich bewusst aber da das eine wahr falsch frage war, bin ich mir nun nicht sicher gewesen ob die Schreibweise richtig ist bzw.  ob die Fréchet Ableitung tatsächlich das selbe ist wie das totale Differential von f mal dem Gradienten von g. Ist es das?

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Ich hab Dir ja aufgeschrieben, was es bedeutet. Die \(f_i\) haengen nur von einer Variablen ab, und nach der leitest Du ab, um \(f_i'\) zu bekommen. \(g\) haengt von \(n\) Variablen \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) ab, und nach denen leitest Du ab, um \(\nabla g\) zu bekommen. \(f'=(f_i')\) ist ein Spaltenvektor und \(\nabla g\) ein Zeilenvektor. Wenn Du die so wie es da steht multiplizierst, bekommst Du als Ergebnis eine \(n\times n\)-Matrix \(Dh(x)\). So und nicht anders ist das gemeint.

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Ok also ist ||h'(x)||=||f'(x)∇g(x)||  genauso richtig oder?

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Ich weiss nicht, was die Betragsstriche sollen. Es ist auch schon ohne falsch, siehe Antwort.