Gleichung auf beiden Seiten nach λ differenzieren

Question

Aufgabe: Mehrdimensionale Ableitung berechnen:

u(λ) = u(τ) +(Id− Dλ)^-1D(λ−τ)u(τ)

Ich soll diese Gleichung auf beiden Seiten nach λ ableiten (wobei u die komplexe Einheitskreisscheibe in einen Hilbertraum M abbildet und τ liegt auf dem Rand von (komplexe Einheitskreisscheibe) und D ist eine linere stetige Abbildung von M nach M mit Operatornorm 1). Das Ergebnis ist auch schon gegeben:

d/dλ u(λ) = [(1− Dλ)^-1D(λ−τ)+Id](Id− Dλ)^-1D(λ−τ)u(τ)

Leider weiß ich nicht genau wie ich auf das oben angegebene Ergebnis komme. Ich habe schon versucht die Gleichung so umzustellen, dass der Inverse Operator verschwindet, dann differenziert und die Gleichung am Ende wieder zurück umgestellt, aber das hat nicht geklappt!

Ich freue mich über jeden Hinweis und Tipp! Vielleicht gibt es ja eine Formel mit der man (Id-Dλ)^-1 nach λ ableiten kann...

Vielen Dank schonmal in voraus :)

Comments

Was bedeutet \(D\lambda\)?

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Ah sorry das habe ich vergessen oben zu erwähnen, D ist eine lineare stetige Abbildung von dem Hilbertraum M nach M. (Hat Operatornorm 1)

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Soweit ich verstehe, wäre dann (ich schreib mal s statt lambda)

$$u(s)=(I-sD)^{-1}(u(t)-tDu(t))$$

Oder?

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Nein, ich glaube das könnte wenn dann nur so umschreiben...

u(s) = u(τ) +(I− Ds)^-1 D(su(τ)−τu(τ))

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Was spricht gegen

$$u(t)+(I-sD)^{-1}(s-t)Du(t)$$

$$=(I-sD)^{-1}(u(t)-sDu(t)+sDu(t)-tDu(t))$$

$$=(I-sD)^{-1}(u(t)-tDu(t))$$

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Ahh ja natürlich, hab das leider nicht direkt gesehen! Wie würde man da jetzt weitermachen? :)

Answer 1

Wenn wir also von

$$u(s)=(I-sD)^{-1}(u(t)-tDu(t))$$

ausgehen, dann würde ich implizites Differenzieren nutzen, also obiges umformen:

$$u(s)-sDu(s)=u(t)-tDu(t)$$

Differenzieren nach s:

$$u'(s)-Du(s)-sDu'(s)=0$$

Daraus:

$$u'(s)=(I-sD)^{-1}Du(s)=(I-sD)^{-1}D(I-sD)^{-1}(u(t)-tDu(t))$$

Gruß Mathhilf

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Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort!