Wie bestimmt man den Grenzwerte dieser Funktion?

Question

Aufgabe:

f(x,y) = { \( \frac{xy^2}{x^2+y^4} \)  für x^2 + y^4 > 0

           { 0         für x^2 + y^4 = 0

Bestimme für die Funktion die Grenzwerte \( \lim\limits_{n\to\infty} \) f (\( \frac{1}{n} \) , -\( \frac{1}{2n} \) )

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei dieser Funktion vor?

Answer 1

Aloha :)

$$f\left(\frac1n;-\frac{1}{2n}\right)=\frac{\frac1n\cdot\left(-\frac{1}{2n}\right)^2}{\left(\frac1n\right)^2+\left(-\frac{1}{2n}\right)^4}=\frac{\frac1n\cdot\frac{1}{4n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{16n^4}}=\frac{n^2\cdot\frac1n\cdot\frac{1}{4n^2}}{n^2\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{16n^4}\right)}=\frac{\frac{1}{4n}}{1+\frac{1}{16n^2}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}f\left(\frac1n;-\frac{1}{2n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4n}\right)}{1+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{16n^2}\right)}=\frac{0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$$