Bestimmen Sie jeweils die Grenzwerte.

Question

Aufgabe:

Die nachstehenden rekursiven Folgen sind konvergent. Bestimmen Sie jeweils die Grenzwerte.

a) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}-\frac{1}{4} \), mit \( 2=a_{1} \).

b) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{4}+1 \), mit \( \xi=1 \).

Text erkannt:

Aufgabe 4 Die nachstehenden rekursiven Folgen sind konvergent. Bestimmen Sie jeweils die Grenzwerte mit Hilfe von Satz 7.15.
a) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}-\frac{1}{4} \), mit \( 2=a_{1} \).
b) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{4}+1 \), mit \( \xi=1 \).

Problem/Ansatz:

Brauche bitte Hilfe. Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Da uns in der Aufgabenstellung bereits mitgeteilt wird, dass die beiden Folgen konvergieren, brauchen wir das nicht mehr zu zeigen.

zu a) Wie bestimmen den Grenzwert durch folgende Umformungen:$$a_{n+1}=\sqrt{a_n}-\frac14\quad\bigg|-\sqrt{a_n}+\frac14$$$$a_{n+1}-\sqrt{a_n}+\frac14=0\quad\bigg|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-\sqrt{a_n}+\frac14\right)=\lim\limits_{n\to\infty}(0)\quad\bigg|\text{Grenzwertsätze anwenden}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1})-\sqrt{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}+\frac14=0\quad\bigg|a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$a-\sqrt{a}+\frac14=0\quad\bigg|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left(\sqrt a-\frac12\right)^2=0\quad\bigg|\sqrt{\cdots}$$$$\sqrt a-\frac12=0\quad\bigg|+\frac12$$$$\sqrt a=\frac12\quad\bigg|(\cdots)^2$$$$a=\frac14$$

zu b) Analog wie in Teil (a) berechnen wir:$$b_{n+1}=\frac{b^2_n}{4}+1\quad\bigg|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty} b_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{b^2_n}{4}+1\right)\quad\bigg|\text{Grenzwertsätze anwenden}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} b_{n+1}=\left(\frac{\left(\lim\limits_{n\to\infty} b_n\right)^2}{4}+1\right)\quad\bigg|b=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_{n+1}$$$$b=\frac{b^2}{4}+1\quad\bigg|-b$$$$\frac{b^2}{4}-b+1=0\quad\bigg|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left(\frac b2-1\right)^2=0\quad\bigg|\sqrt{\cdots}$$$$\frac b2-1=0\quad\bigg|+1$$$$\frac b2=1\quad\bigg|\cdot2$$$$b=2$$