\( (x_k+x)^n \)
\( = x_k^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-1}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x_k x^{n-1} +x^n\)
==> \( \frac{\left(x_{k}+x\right)^{n}-x^{n}}{x_{k}} \)
\( = \frac{ x_k^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-1}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x_k x^{n-1} +x^n-x^{n}}{x_{k}} \)
\( = \frac{ x_k^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-1}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x_k x^{n-1} }{x_{k}} \)
xk kommt in allen Summanden vor, also kürzen:
\( = x_k^{n-1} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-3}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} \)
Für k gegen unendlich, also xk gegen 0, gehen alle Summanden,
die noch eine Potenz von xk enthalten gegen 0 und es bleibt also Grenzwert:
\( \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} = n \cdot x^{n-1} \)