Zeigen Sie, dass jedes x ∈ ℝ gilt limes

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1 Es sei \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Folge mit \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{k}=0 \) und \( x_{k} \neq 0 \) für alle \( k \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass für jedes \( n \in \mathbb{N} \) und jedes \( x \in \mathbb{R} \) gilt
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\left(x_{k}+x\right)^{n}-x^{n}}{x_{k}}=n x^{n-1} . \)
(Hinweis: Wenden Sie den binomischen Satz auf \( \left(x_{k}+x\right)^{n} \) an, und untersuchen Sie summandenweise)

Problem/Ansatz:

Brauche bitte Hilfe. Vielen dank

Comments

Wenden Sie den binomischen Satz auf \( \left(x_{k}+x\right)^{n} \) an

Was verstehst du daran nicht?

Answer 1

\(  (x_k+x)^n \)

\(  = x_k^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-1}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x_k x^{n-1} +x^n\)

==>  \(   \frac{\left(x_{k}+x\right)^{n}-x^{n}}{x_{k}} \)

\( = \frac{ x_k^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-1}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x_k x^{n-1} +x^n-x^{n}}{x_{k}} \)

\( = \frac{ x_k^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-1}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x_k x^{n-1} }{x_{k}} \)

x_k kommt in allen Summanden vor, also kürzen:

\(   =     x_k^{n-1} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x_k^{n-2}x+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x_k^{n-3}x^2 \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} \)

Für k gegen unendlich, also x_k gegen 0, gehen alle Summanden,

die noch eine Potenz von x_k enthalten gegen 0 und es bleibt also Grenzwert:

\(  \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} = n \cdot x^{n-1} \)