Parameter von k für x^2 + kx bestimmen

Question

Kann man für x^2 + kx einen Parameter finden der zu einem Hochpunkt bei x = 4 führt?

Die Lösung lautet: k = -2x + 8

Ich steh hier grad ziemlich auf dem Schlauch wie man zu der Lösung kommt.

Kann mir wer helfen?

Comments

Offenbar wird k wohl nicht als von x unabhängiger Parameter aufgefasst, sondern selbst als Funktion \(k(x)=(-2x+8)\). Wird das eingesetzt, liegt der Hochpunkt bei \(x=4\). Wer kommt denn auf sowas?

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Das frag ich mich auch :)

Hättest du eine Idee wie ich die Lösung Rechnerisch finden könnte?

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Na, dazu müsste die Aufgabe zunächst mal so formuliert sein, dass klar ist, was überhaupt gesucht wird. Denn wenn für \(k\) alles mögliche eingesetzt werden kann, gibt es viele Lösungen.

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Da in der Aufgabe nicht weiter definiert habe ich k = alles mögliche interpretiert. Kann man x^2+kx und den Hochpunkt bei x = 4 irgendwie in ein Gleichungssystem bekommen?

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Hm... wir haben die Funktion

$$ y = x^2 + k(x) \cdot x $$

Nehmen wir mal an, sie soll quadratisch sein. Dann muss \(k\) die Form

$$ k(x) = a \cdot x + b $$ haben. Damit könnte man mal anfangen.

Answer 1

Hallo. Die Kurvenschar hat sicher keine Hochpunkte. Wo ist diese Aufgabe denn her?

Comments

War eigentlich ein Kommentar zur 1. Antwort.

Answer 2

Hi,

den Tiefpunkt findest Du mittels der Ableitung.

f(x) = x^2 + kx

f'(x) = 2x + k = 0, mit x = 4

8 + k = 0

k = -8

f(x) = x^2 - 8x

Deine Lösung passt also nicht.

Grüße

Nachtrag: Tiefpunkt

Comments

Hat sich durch Nachtrag in der Antwort erledigt.

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Darf man für k nur Zahlen einsetzen, auch wenn in der Aufgabe k nicht weiter definiert ist?

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@Wolfgang: Danke noch gesehen gehabt :).

@hperemains: Was meinst Du mit "nicht weiter definiert". k ist einfach ein Parameter.

Wie ich aber gerade an az0815's Kommentar sehe, stimmt Deine Lösung wohl für k(x) = -2x+8. Da muss aber im Gegenteil k so definiert sein. Also als k(x). Das ist unüblich.

Answer 3

f(x) = x^2 + k·x

Wir erinnern uns kurz mal an die 9 Klasse und die quadratischen Funktionen

f(x) = ax^2 + bx + c

Das was vor dem x^2 stand, also das a war der Öffnungsfaktor, der bestimmt ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und ob sie gestreckt oder gestaucht ist.

In Deiner Aufgabe

f(x) = x^2 + k·x

Ist der Faktor 1 vor dem x^2. Damit ist es eine nach oben geöffnete Normalparabel die höchstens verschoben ist. Eine nach oben geöffnete Parabel hat höchstens einen Tiefpunkt.

Die Funktion

f(x) = - x^2 + k·x = - x(x - k)

wäre nach unten geöffnet und hätte einen Hochpunkt.

f(x) = - x(x - k)

Da die Funktion bei 0 und k di Nullstellen hat und sich in der Mitte davon der Scheitelpunkt befindet müssen die Nullstellen bei 0 und 8 sein.

f(x) = - x(x - 8) = - x^2 + 8x

Diese Funktion hat dann den Hochpunkt bei x = 4