Lagrange Multiplikator mit mehreren Variablen

Question

Folgende Aufgabe zum Lagrange Multiplikator:

max(min):3⋅x⋅y unter der Nebenbedingung x2+y2=8

→ F(xy) =3⋅x⋅y− λ ⋅(x2+y2−8)
Habe dann folgendermaßen gestartet (partiell ableiten)

L′(x):3y−2 λ x
L′(y):3x−2 λ y
L′( λ ):x2+y2−8

Normalerweilse muss man ja jetzt die einzelnen Ableitungen gleich 0 setzen umformen substituieren.. und genau da haperts irgendwie, weil ich ja zwei Variablen drin habe (abgesehen von λ ) und einfach nicht weiter komme.
Kann mir da jemand weiterhelfen mit minimum und maximum bestimmen?

liebe grüße & danke!

Answer 1

f(x, y, k) = 3·x·y + k·(x^2 + y^2 - 8)

df / dx = 2·k·x + 3·y = 0
df / dy = 3·x + 2·k·y = 0
df / dk = x^2 + y^2 - 8 = 0

Sehr einfach ist die erste und zweite Gleichung nach k auflösen und Gleichsetzen

k = - 3·y/(2·x)
k = - 3·x/(2·y)

- 3·y/(2·x) = - 3·x/(2·y)
y^2 = x^2

Hier dann noch die NB einsetzen

y^2 = 8 - y^2
y^2 = 4
y = ± 2

Ich komme insgesamt auf die Lösungen:

[x = 2 ∧ y = 2,
x = 2 ∧ y = -2,
x = -2 ∧ y = 2,
x = -2 ∧ y = -2]

Answer 2

Wenn Lagrange nicht verlangt ist:

\(\max(\min):3xy\) unter der Nebenbedingung \(x^2+y^2=8\)  1.)  \(y=\sqrt{8-x^2}\)

\(f(x)=3x\sqrt{8-x^2}=\sqrt{72x^2-9x^4} \)

\(f'(x)=\frac{144x-36x^3}{2\sqrt{72x^2-9x^4}}=\frac{72x-18x^3}{\sqrt{72x^2-9x^4}} \)

\(\frac{72x-18x^3}{\sqrt{72x^2-9x^4}} =0\)

\(x(72-18x^2) =0\)

\(x_1 =0\)        \(y_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) kommt als Lösung nicht in Betracht

\(72-18x^2 =0\)

\(x^2=4\)  

\(x_2=2\)              \(y_2=2 \)

\(x_3=-2\)           \(y_3=2 \)

2.)  mit \(y=-\sqrt{8-x^2}\)

\(x_2=2\)              \(y_2=-2 \)

\(x_3=-2\)          \(y_3=-2 \)