paarweise disjunkt, warum stimmt die Aussage?

Question

Sei M = { A } {\displaystyle M=\{A\}} M={A} ein Mengensystem besteht aus nur einer Menge A {\displaystyle A} A. Ist M {\displaystyle M} M paarweise disjunkt?

Erklärung:

Ja, jedes Mengensystem bestehend aus nur einem Element ist paarweise disjunkt. Es gibt keine zwei verschiedenen Mengen A,B ∈M A , B ∈ M {\displaystyle A,B\in M}  und damit muss für keine Mengenpaare geprüft werden, ob sie disjunkt sind, oder nicht.

Meine Fragen:

Wie kann man den ohne zwei Mengen zu haben, sagen das sie disjunkt sind bzw. womit ist A denn paarweise disjunkt(mit der leeren Menge?)? Muss man nicht für eine solche Aussage eine Vergleichsmenge haben?

Siehe: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Disjunkte_Mengen_und_paarweise_disjunkte_Mengensysteme#Paarweise_disjunkte_Mengensysteme

Answer 1

Naja, ist doch ganz simpel:

Es geht hier darum, dass das Mengensystem M paarweise disjunkt ist.

Und das ist nach Definition paarweise disjunkt, wenn alle Teilmengen disjunkt sind.

Wir schauen uns also alle Teilmengen an und schauen, ob es gemeinsame Elemente gibt.

Da es nur die Menge A in dem System gibt, gibt es auch keine weiteren Mengen mit gemeinsamen Elementen => nicht disjunkt.

Da wir innerhalb eines Mengensystem sind, braucht man keine "Vergleichsmenge". 

Soweit verstanden?

Comments

> ..... wenn alle Teilmengen disjunkt sind

So macht das wohl keinerlei Sinn.

Du meinst:

wenn je zwei verschiedene Elemente aus M disjunkt sind

( und da es in M keine 2 verschiedenen Teilmengen gibt, ....)

> ....  ist doch ganz simpel:

Solche recht abstrakten Sonderfälle bei Definitionen sind keineswegs "simpel"

---

Das mit dem simpel war eher als Motivation gemeint nach dem Motto:

"Komm schon. Das ist ganz simpel. Das bekommst du hin."

Naja, wenn jeweils zwei Mengen disjunkt sind. So sind es auch alle in der Menge oder nicht?

---

Was verstehst Du ueberhaupt unter "alle Mengen des Systems sind disjunkt"?

---

Ich meine, ein beliebiges  System A_i von Mengen wird als disjunkt bezeichnet, wenn ∩_i  A_i = { } ist.

Die Mengen {1}, {2} und {1,2} wären dann disjunkt aber nicht paarweise disjunkt.

(Eine klare Definition dafür habe ich aber auch nirgends gefunden. Das scheint nicht so ganz eindeutig zu sein. Dann sollte man diese Sprechweise aber wohl schon aus diesem Grund besser vermeiden :-))

Mein Hauptkritikpunkt war aber der Begriff "Teilmenge" für die Elemente eines Mengensystems.

Answer 2

Siehe es so: Die Bedingung für paarweise Disjunktheit kann nicht verletzt werden. In binaerer Logik muss sie dann erfuellt sein.