Zeige, dass f konstant ist. |f(x)-f(y)| ≤ L|x-y|^{α} für jedes x,y ∈ ℝ^{n}

Question

Sei \(\alpha>1, L\geq 0\) und sei die folgende Abbildung \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\) mit der folgenden Eigenschaft gegeben:

$$|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|^{\alpha}$$ für jedes \(x,y\in \mathbb{R}^n\)

Zeige, dass \( f \) konstant ist.

Answer 1

Das ist Aufgabe 3b) hier: https://books.google.de/books?id=NZbKBgAAQBAJ&lpg=PA43&hl=de&pg=PA51#v=onepage&q&f=false

Ein Tipp zur Lösung steht dabei.

3. Hölder-Bedingung. Die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( D \subset \mathbb{R} \) genügt einer Hölder-Bedingung der Ordnung \( \alpha>0, \) kurz \( f \in H^{a}(D), \) wenn es eine Konstante \( L \) gibt mit $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|^{2} \text { für } x, y \in D $$ (vorerst ist \( \alpha \) rational). Offenbar ist \( H^{1}(D)=\operatorname{Lip}(D) . \) Man zeige:

a) \( H^{a}(D) \) ist ein Funktionentaum. Mit \( f \) und \( g \) sind auch \( \max (f, g) \) und \( \min (f, g) \) aus \( H^{x}(D) . \) Bei beschränktem \( D \) ist \( H^{x}(D) \) eine Funktionenalgebra, und aus \( 0<\alpha<\beta \) folgt \( H^{\beta}(D) \subset H^{x}(D)(\text { man gebe dazu ein Gegenbeispiel für } D=\mathbb{R} \) an).

b) Ist \( J \) ein Intervall, \( \alpha>1 \) und \( f \in H^{a}(J), \) so ist \( f \) konstant. Aus diesem Grunde setzt man immer \( 0<\alpha \leq 1 \) voraus.

c) \( x^{x} \in H^{x}([0, \infty)) \) für \( 0<\alpha \leq 1 \)

Zu (b): Man stelle \( f(x+h)-f(x) \) als Summe von Differenzen \( f\left(x_{i}+\frac{h}{n}\right)-f\left(x_{i}\right) \) dar und wähle \( n \) groß.