Termumformung/Wallissche Produktfolge

Question

p_n=$$ \frac { 2 }{ 1 } \ast \frac { 4 }{ 3 } \ast \frac { 6 }{ 5 } \ast \ast \ast \frac { (2n) }{ (2n-1) } $$ ist die Wallissche Produktfolge.

Zu zeigen ist, dass p_n+1/p_n =$$ \frac { (2n+2) }{ (2n+1) } $$ sein soll.

Ich komme nur auf:$$\frac { (2n+2) }{ (2n+1) } \ast \frac { (2n) }{ (2n-1) }$$ ,was aber nicht zum gewünschten Ergebnis führt.

Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Hi,

es ist

$$p_{n} = \frac21\cdot \frac43\cdot...\cdot\frac{2n}{2n-1}$$

Außerdem:

$$p_{n+1} = \frac21\cdot \frac43\cdot...\cdot\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n+2}{2n+1}$$

Damit:

$$\frac{p_{n+1}}{p_{n}} = \frac{ \color{red}{\frac21\cdot \frac43\cdot...\cdot\frac{2n}{2n-1}}\cdot \frac{2n+2}{2n+1}}{\color{red}{\frac21\cdot \frac43\cdot...\cdot\frac{2n}{2n-1}}} = \frac{2n+2}{2n+1}$$

Der rote Teil kürzt sich raus :).

Grüße