Raucher. Kann mir jemand erklären wie man die Wahrscheinlichkeit ausrechnet?

Question

Erfahrungsgemäß rauchen im Alter von 16 Jahren 12% aller Jugendlichen. Zu einem Einstellungstest sind 30 Jugendliche eingeladen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass

a) genau drei Raucher

b) mindestens zwei Raucher

c) höchstens vier Raucher

e) mindestens drei und höchstens sechs Raucher eingeladen wurden.

Answer 1

Bernoullikette der Länge n:

Führt  man das gleiche Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen (Wahrscheinlichkeit fürTreffer jeweils p und W. für Niete jeweils 1-p)  n-mal hintereinander aus, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer   \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) • p^k • (1-p)^n-k

Bei "allen Jugendlichen" ändert sich die Gesamtzahl durch Auswahl eines davon vergleichsweise so wenig, dass man sie bei Auswahl von 30 Jugendlichen als näherungsweise gleichbleibend ansehen kann.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau k Raucher eingeladen wurden, beträgt hier deshalb jeweils  \(\begin{pmatrix} 30 \\ k \end{pmatrix}\) • 0,12^k • 0,88^30-k

a)  P(k=1)  =   \(\begin{pmatrix} 30 \\ 1 \end{pmatrix}\) • 0,12¹ • 0,88^30-1 = 30 • 0,12 • 0.88²⁹  ≈ 0,088 = 8,8 %

b)  P(k ≥2)  = 1 - P(k<2)  = 1 - [ P(k = 0) + P(k = 1) ]  = ... ≈ 0,89 = 89  %

            ( Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses)

c)  P( k ≤ 4)  =  P(k = 0) + P(k = 1) + P(k = 2) + P(k = 3) + P(k = 4)  = ...  ≈ 0,712 = 71,2 %

d)  P( 3 ≤ k ≤ 6)   =  P(k = 3) + P(k = 4) + P(k = 5) + P(k = 6)  = ...  ≈  0,655 = 65,5 %

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Hilfe:   

\(\begin{pmatrix} 30 \\ 0 \end{pmatrix}\) = 1  ;  \(\begin{pmatrix} 30 \\ 1 \end{pmatrix}\) = 30  ;  \(\begin{pmatrix} 30 \\ 2 \end{pmatrix}\) = 435  ;   \(\begin{pmatrix} 30 \\ 3 \end{pmatrix}\) = 4060  ;

 \(\begin{pmatrix} 30 \\ 4 \end{pmatrix}\)  = 27405 ;  \(\begin{pmatrix} 30 \\ 5 \end{pmatrix}\)  = 142506  ;   \(\begin{pmatrix} 30 \\ 6 \end{pmatrix}\) =  593775

Gruß Wolfgang