Schneiden oder Berühren oder laufen die Parablen und Gerade aneinander vorbei

Question

Entscheiden Sie, ob die Parabel y= -4x² -5x +7 und die Gerade y = -5x + 3 sich schneiden, berühren oder ob sie aneinander vorbei laufen, und geben Sie ggf. die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Berührungspunktes an. (Dankeschön ;-) )

Answer 1

Wenn du die beiden Funktionsterme der Parabel und der Geraden gleichsetzt, erhältst du die Schnittstellen x₁ = 1 und x₂ = - 1:

-4x² -5x +7 =  - 5x + 3   #  

Gleichung rechts auf 0 bringen und vereinfachen ergibt:

 4 - 4·x² = 0   | + 4x² | : 4 | ↔

x² = 1 →  x₁ = 1 ;  x₂ = - 2

[ Im Allgemeinen ist eine Schnittstelle genau dann eine Berührstelle, wenn für beide Funktionen dort auch die Werte der 1. Ableitung übereinstimmen. Beide Graphen haben dort dann eine gemeinsame Tangente.]

Da eine Gerade eine Parabel aber nur dann in einem Punkt berühren kann, wenn es genau einen gemeinsamen Punkt gibt (die Gerade ist dann Tangente an die Parabel), handelt es sich hier um  "echte" Schnittpunkte.

Einsetzen in die Geradengleichung ergibt y₁ = -1 und y₂ = 8

→  S₁ = (1|-2) und S₂ = (-1|8)          [Edit nach Kommentar]

Gruß Wolfgang

Comments

Huhu,

Der erste Schnittpunkt liegt bei S (1|-2).

Grüße 

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Du hast natürlich recht, danke für den Hinweis. (Ist ja auch im Graph - trotz der verschiedenen Einheiteneinteilung auf den Koordinatenachsen - nur schwer zu übersehen :-)). Werde den "Nachtfehler" korrigieren..

Gruß Wolfgang

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(an alle !!) . War zuerst nur als Gast gemeldet - inzw. angemeldet :) Dies war die 6. Aufgabe aus dem Telekolleg Arbeitsbogen 3 (Vorkurs Allg. FH-Reife in  Bayern). Parabeln ect.... hatte ich vor 25 Jahren gar nicht in der Schule, da kaufm. Ausbildung. Werde vsl. sehr oft hier eine Frage stellen & freue mich auf Unterstützung :)

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immer wieder gern :-)     (und ich weiß, dass das auch für Unknown  zutrifft :-))

Answer 2

Ich greife mal den Anfang auf:

Entscheiden Sie, ob die Parabel y= -4x² -5x +7 und die Gerade y = -5x + 3 sich schneiden, berühren oder ob sie aneinander vorbei laufen, (...)

Wie können wir diese Entscheidung treffen, ohne eine Schnittstellenberechnung durchzuführen? Die nach unten offene Parabel schneidet die y-Achse im Punkt \((0|+7)\), die Gerade tut dies im Punkt \((0|+3)\). Der letztgenannte Punkt liegt aber sicher im "Inneren" der Parabelkurve. Daher müssen sich die Graphen in zwei verschiedenen Punkten schneiden.

Wir können also in diesem Fall schon vor der Rechnung wissen, wie viele Lösungen die Rechnung liefern muss. Ob das auf andere Fälle ähnlicher Art verallgemeinert werden kann, weiß ich nicht. Ich stelle dies aber gerne zur Diskussion!

Answer 3

Hi,

Bei dieser Fragestellung setzt Du die beiden Funktionen gleich und interpretierst das Ergebnis. Dabei kommt es auf die Anzahl der Lösungen der Gleichung an.

0 Lösungen: Passante

1 Lösung: Tangente, welche an der Stelle der Lösung anliegt

2 Lösungen: Sekante, die beiden Lösungen beschreiben die Schnittstellen.

Hier also:

-4x^2-5x+7 = -5x+3  |+5x-3

-4x^2+4 = 0               | ausklammern von -4

-4(x^2-1) = 0             | dritte binomische Formel

-4 (x-1)(x+1) = 0

x_(1) = -1 und x_(2) = 1

Wir haben also zwei Lösungen und damit zwei Schnittstellen und damit eine Sekante. Zur Bestimmung der Schnittpunkte die Stellen in eine der beiden Funktionen einsetzen (in die Gerade ist meist einfacher).

S_(1)(-1|8) und S_(2)(1|-2)

Grüße