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Wie berechnet man  den Grenzwert mit der h - Methode?

lim x --> 1   x3 - 1  /  2x - 2

Wäre der Anfang so richtig :

lim  h-->0  ((1+h)3 - 1)   /  ( 2 * ((1 + h) - 2)  ?

Wie berechntet man (1 + h )3 ? Und wie geht die Berechnung dann weiter?

Schöne Grüße O.

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Was hat denn die h-Methode hier zu suchen? Was steht denn genau in der Aufgabe?

Das wahr schon bei der letzten Aufgabe so. Man kann natürlich auch den Zähler faktorisieren, aber scheinbar soll die h-Methode geübt werden.

3 Antworten

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Hi,

das ist soweit richtig.
Für (1+h)3 nutze entweder das pascalsche Dreieck oder (1+h)(1+h)² :). Also erst den Binomi hinten anwenden und dann miteinander verrechnen. Es ist
(1+h)³ = 1 + 3h + 3h² + h³

$$\lim \frac{(1+h)^3-1}{2(1+h)-2} = \lim \frac{(1 + 3h + 3h^2 + h^3) - 1}{2((1+h)-1)}$$

Nun verrechnen:

$$\lim\frac{3h+3h^2+h^3}{2h}$$

Kürzen mit h

$$\lim \frac{3+3h+h^2}{2}$$

Wenn man nun h -> 0 anschaut, sind die Summanden mit h irrelevant, wir haben also den Grenzwert 3/2.

Grüße
Avatar von 141 k 🚀

Hi, wenn die Ableitung bestimmt werden soll, dann ist der Ansatz falsch. Wenn das bestimmt werden soll, was oben steht, dann ist die h-Methode unangebracht.

Du spielt darauf an, dass Du die Methode nicht als "h-Methode" bezeichnen würdest, da Du diesen Begriff eher mit dem Differentialquotienten in Verbindung bringst?

Die obige Herangehensweise wird oft ebenfalls als h-Methode bezeichnet. :)

Das habe ich noch nirgendwo so gesehen. Ich sehe darin auch keinen Vorteil.

Wird recht häufig zur Bestimmung des Verhaltens an Polstellen verwendet :).

Danke schön, wunderbar erklärt!

Ich weiß nur noch  nicht, wie man mit h kürzt.

Wie sind da die Zwischenschritte?

Danke für die Mühe und schöne Grüße von O.

Du kannst entweder den Bruch in 3 Teilbrüche aufspalten oder (was ich bevorzuge) im Zähler h ausklammern.

3h + 3h^2 + h^3 = h(3 + 3h + h^2)

Und dann eben das h kürzen. Einverstanden? :)

Wer, bitte, denkt sich solche Aufgaben aus? Hier ist doch die sog. h-Methode viel zu umständlich. Auf direktem Wege erhält man (x3 - 1) /( 2x - 2) =1/2·(x3 - 1)/ (x - 1) = (x2+x+1)/2. (Die Summenformel für geometrische Reihen musste man früher sowieso kennen.) Für x= 1 gilt dann (x2+x+1)/2 =3/2.

jc2144 hat diesbzgl schon eine Bemerkung verlauten lassen. Nochmals erwähnt:

"scheinbar soll die h-Methode geübt werden."


Was ja jetzt so unüblich auch nicht ist...

Ich denke mal die Schüler kennen noch keine Polynomdivision bzw. erkennen die Faktorisierung nicht. Da hilft die h-Methode, obwohl umständlich, da sich alles Schritt für Schritt ergibt. Man braucht halt bei Potenzfunktionen nur den binomischen Lehrsatz, der Rest ist kürzen.

@Unknown. Sicher hast du recht. Aber das Übern der h-Methode könnte auch im Zusammenhang mit der Herleitung von Ableitungen geübt werden. Dort ergibt sich ein echter Nutzen.

@gast jc2144. Die Polynomdivision in diesem Zusammenhang einzuführen wäre für Kommendes viel nützlicher.

+1 Daumen

dein Anfang stimmt so :).

Zur Berechnung der Potenz kannst du den binomischen Lehrsatz nehmen, oder du berechnest

(1+h)^3=(1+h)^2*(1+h)

=(h^2+2h+1)*(1+h)=h^3+3h^2+3h+1

--->

lim h--->0 (h^3+3h^2+3h)/(2h)

=lim h--->0 h^2/2+3h/2+3/2=3/2

Avatar von 37 k
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Entweder du lernst das Pascaldreieck ein Stück weit auswendig oder du multiplizierst aus.

(1+h)^3 = (1+h)(1+h)^2 = (1+h)(1+2h+h^2)

= 1 + 2h + h^2 + h + 2h^2 + h^3

= 1+ 3h + 3h^2 + h^3

Nun mit dem ganzen Bruch weiterrechnen. Wegen -1  verschwindet 1,

du kannst im Zähler h ausklammern,

dann mit h kürzen.

Und zum Schluss den Grenzübergang machen.

Avatar von 162 k 🚀

Danke, super erklärt.

Schöne Grüße von Ommel

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