Question

Wandle um in die Scheitelform. Bestimme den Scheitel.

a) $y=x^{2}+2 x-3$

b) $y=x^{2}+6 x+3$

c) $y=x^{2}-8 x+19$

d) $y=x^{2}-x+5,75$

e) $y=x^{2}-x$

Wie sieht die Scheitelform der Funktionen aus, wie lauten die Scheitel?

Comments

Wenn du die 3 bereits vorgeschlagenen Videos zu F06: Quadratische Funktionen angeschaut hättest, hättest du in Teil 3 den Lösungsweg entdecken können ;-)

Artikel: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

Answer 1

Wenn man eine Funktion der Fom

y = x^2 + px + q
hat kann man diese über die quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen

y = x^2 + px + q
y = x^2 + px + (p/2)^2 - (p/2)^2 + q
y = (x + p/2)^2 + (q - p^2/4)

Scheitelpunkt liegt also bei S(-p/2 | q - p^2/4)

Beispiel an einer deiner Aufgaben

y = x^2 + 2x - 3
y = x^2 + 2x + 1^2 - 1^2 - 3
y = (x + 1)^2 - 4

Scheitelpunkt liegt also bei S(-1 | -4).

Versuche mal die restlichen Aufgaben auch nach dem Schema zu machen:

Hier Kontrolllösungen

a) S(-1 | -4)
b) S(-3 | -6)
c) S(4 | 3)
d) S(0.5 | 5.5)
e) S(0.5 | -0.25)

Comments

a) und c) u. d) habe ich jetzt gerechnet (sind die Rechenwege korrekt?):

b) $y=x^{2}+6 x+3$
$$\begin{array}{l} {y=x^{2}+6 x+\left(\frac{6}{2}\right)^{2}+3} \\ {y=\left(x+\frac{6}{2}\right)^{2}+\left(3-\frac{6^{2}}{4}\right)} \end{array}$$
$c)$
$$\begin{array}{l} {y=x^{2}-8 x+19} \\ {y=x^{2}-8 x+\left(\frac{8}{2}\right)^{2}-\left(\frac{8}{2}\right)^{2}+19} \\ {y=\left(x-\frac{8}{2}\right)^{2}+\left(19-\frac{8^{2}}{4}\right)} \end{array}$$

$c)$
$y=x^{2}-x+5,75$
$y=x^{2}-2 \cdot \frac{1}{2} x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+5,75$
$y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(5,75-\frac{1}{4}\right)$

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Ja das sieht richtig aus. Und du kommst ja auch auf die richtigen Ergebnisse nach dem Ausrechnen.

Das Ausrechnen hättest du aber noch machen können.

Answer 2

Du hattest ja vorher Scheitelformen (oft nennt man die Scheitelpunktformen) gegeben. So was brauchst du hier.

Also y = a (x-b)² + c 

Bei euch ist das a bisher immer 1.

D.h. du suchst y = (x-b)² + c

Hier benutzt man die sogenannte quadratische Ergänzung. Es wird so ergänzt, dass ein Binom entsteht und gleichzeitig der Ausdruck nicht verändert wird. Dabei schaut man immer auf den Koeffizienten von x und schleppt den Rest einfach mit.

Bsp. e)

y = x² - x

y = x² - 2*1/2 x + (1/2)² - (1/2)²

= (x - 1/2)² - (1/2)²

=(x - 1/2)² - 1/4

S(1/2 , - 1/4)