Gleichung nach x auflösen mit Logarithmus 30*1.1^x=30+4*x

Question

Bitte folgende Gleichung nach x auflösen:

30*1.1^x=30+4*x

X müsste ungefähr 6,6 sein.

Answer 1

x=0 ist natürlich eine Lösung

Weitere  Nullstellen von  f(x) = 30*1,1^x - 30 -  4x  

kannst du nur mit einem Näherungsverfahren finden, z.B.

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Du weißt allerdings nie, ob du alle NS gefunden hast (hier gibt es nur zwei) und manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel einen Extrempunkt erwischt).

Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:

Starwert x_alt = 6,5  (z.B. aus Plotterbild oder provisorischem Graph mit Wertetabelle)

x	f(x)	f '(x)
6,5	-0,259134444	1,312671919
6,697409909	0,009928605	1,413577062
6,690386164	1,27243E-05	1,40995424
6,690377139	2,09965E-11	1,409949586
6,690377139	0	1,409949586

Mit dem "einfach-mal-so" Startwert x_alt = 4 erhält man z.B.

x	f(x)	f '(x)
4	-2,077	0,186309028
15,14814471	36,50686186	8,113870547
10,64882941	10,18077038	3,889403834
8,031263635	2,374515825	2,147465649
6,925534272	0,345923506	1,532571092
6,699819779	0,013336641	1,414820623
6,690393396	2,29221E-05	1,409957969
6,690377139	6,81339E-11	1,409949586
6,690377139	0	1,409949586
6,690377139	0	1,409949586

Gruß Wolfgang

Answer 2

Das kann man algebraisch nicht lösen. Verwende ein Näherungsverfahren (Newton)

Lösung: 6,69

https://www.wolframalpha.com/input/?i=30*1.1%5Ex%3D30%2B4x

Comments

Eine zweite Lösung ist natürlich x=0

Zum Newtonverfahren vgl. meine Antwort