Folge auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz untersuchen an = (n^3 + 1)/(n+1) und an=√(n+1) - √(2n-1).

Question

ich hab wirklichen keinen Plan, wie ich die beiden Folgen ii) und iv) untersuchen soll...

Erklärung wäre schön.

Comments

$$\text{Tipp zu (ii): }a_n=\frac{n^3+1}{n+1}=n^2-n+1.$$

---

Hast du vielleicht noch ein paar Tipps für mich?

---

Tipp zu (iv): Die Folge konvergiert nicht

---

Die vier kann ich jetzt nachvollziehen, aber bei der ii komm ich net weiter...

---

Bei ii) wurde dir doch schon ein heißer Tipp gegeben

(n^3 + 1)/(n + 1) = n^2 - n + 1

Monoton steigend. Untere Schranke ist die 1. Eine obere Schranke gibt es nicht.

Answer 1

Hallo leike...,

(ii)

a_n = (n³ + 1) / (n+1)  =  (n+1) * (n² - n +1) / (n+1) = n² - n - 1 = n² - n +(1/2)² - 1/4 + 1

= (n - 1/2)² + 3/4

Im Koordinatensystem liegen die Punkte der Folge also auf der Parabel mit dem Scheitelpunkt (1/2 | -3/4)

Wegen n≥1 > 1/2 ist die Folge a_n dann streng monoton steigend mit der unteren Schranke 1 und damit  nach oben unbeschränkt.

(iv) 

lim_n→∞ [√(n + 1) - √(2n-1)] 
lim_n→∞  [(√(n + 1) - √(2n-1)·(√(n + 1) + √(2n-1) / (√(n + 1) + √(2n-1))] 
lim (n → ∞) [(n+1-(2n-1) / (√(n + 1) + √n)]

lim _n→∞ [(2-n)  / (√(n + 1) + √2n-1))]

durch n kürzen (→ unter der Wurzel ... /n² ):

lim _n→∞ [(2/n -1)  / (√(1/n) + 1(n²) + √2/n-1/n²))] = " -1 / 0⁺ " = -∞

Für die Monotonie kannst du die Ableitung der Funktion f(x) = √(x + 1) - √(2x-1) betrachten:

f '(x) = (√(2·x - 1) - 2·√(x + 1)) / ( 2·√(x + 1)·√(2·x - 1) ) 

Der Nenner ist positiv,. Wenn du den Zähler < 0 setzt, erhältst du x ≥ 1/2 (wegen der Definitionsmenge der 1. Wurzel)

→  f '(x) < 0  für  x ≥ 1  →  f '(x)  ist streng monoton fallend in  [ 1 ; ∞ [

Die Folge a_n ist also streng monoton fallend und deshalb wegen a₁ = √2 - 1  durch diese Zahl nach oben beschränkt.

Gruß Wolfgang