Invertierbarkeit einer Matrix zeigen

Question

Ich soll die Invertierbarkeit der Matrix

4     1     -2
0     6     -4
0     0      4

zeigen.

Die Lösung sagt:

"B ist invertierbar, falls bijektiv. Alle Eigenwerte von B sind verschieden von 0. Der Kern von B besteht daher nur aus dem Nullvektor und B ist injektiv. Aus dem Dimensionssatz folgt, dass B auch surjektiv und damit bijektiv, also invertierbar, ist."

Ist es nicht viel einfacher zu sagen: det(B) = 96 != 0 -> invertierbar   ?

Ich frage mich warum hier so  "kompliziert" argumentiert wird. Dies war in einer Altklausur Lineare Algebra I an der Uni, hier darf definitiv schon mit Determinanten argumentiert werden.

MfG,
Christopher

Answer 1

ich würde auch mit der Determinante argumentieren, zumal man hier sehr leicht nach der ersten Spalte entwickeln kann. Vielleicht wurde in der Musterlösung der inhaltsreichere Lösungsweg angegeben, damit man beim nacharbeiten mehr lernt als nur eine Determinante auszurechnen :)

Answer 2

ja das kann man über die Determinante zeigen, wobei hier aber \(\det(b) = 96\).

Alternativ kann man auch kurz anmerken (ohne zu rechnen), dass die Matrix quadratisch ist und vollen Rang besitzt somit regulär und demnach invertierbar ist.

Was "einfacher" ist, ist Geschmackssache. Musterlösungen zu Klausuren stellen ja auch nicht den Anspruch darauf die einzige Lösung zu sein bzw. die "kürzeste" oder "einfachste".

Gruß,