Geben Sie o:= o1 ° o2 und r:= o2 ° o1 als Produkt von unabhängigen Zyklen an.

Question

Seien \( \sigma_{1}, \sigma_{2} \in\left(S_{7}, \circ\right) \) mit

\( \sigma_{1} = (1 ~ 2 ~ 3)(2 ~ 3 ~ 4)(6 ~ 7), \sigma_{2} = (1 ~ 3 ~ 5) \)

gegeben.

Geben Sie \( \sigma:=\sigma_{1} \circ \sigma_{2} \) und \( \tau:=\sigma_{2} \circ \sigma_{1} \) als Produkt von unabhängigen Zyklen an. Geben Sie weiterhin \( \operatorname{sign}(\sigma) \) und \( \operatorname{ord}(\sigma) \) an.

Comments

mE ist das am einfachsten an einer Zeichnung abzulesen. Vgl. ähnliche Fragen. Z.B. https://www.mathelounge.de/25547/berechnen-sie-die-permutation-σ-103

Du müsstest bei deiner Aufgabe noch angeben, wie ihr die Reihenfolge beim Verknüpfen eurer Abbildungen festgelegt habt.

Macht ihr das von links nach rechts oder wie bei f(g(x)) von rechts nach links?

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das machen wir von rechts nach links.

Answer 1

Geben Sie o:= o1 ° o2 und r:= o2 ° o1 als Produkt von unabhängigen Zyklen an.

das machen wir von rechts nach links.

Ich mach das zeichnerisch in der nun angegebenen Reihenfolge und komme auf:

o1 = (12)(34)(67)

Rot: Resultierende, wenn zuerst blaue und dann graue Verschiebung

o = (14352)(67)

Rot: Resultierende, wenn zuerst graue und dann blaue Verschiebung

 

r = (12345)(67)

Rot: Resultierende, wenn zuerst blaue und dann graue Verschiebung

Comments

wie genau komme ich denn auf:
o1 = (12)(34)(67) ?

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Es gelten jeweils nur die Zahlen im Kreis; In den Bildern hat's zum Teil oben noch was anderes.

Wenn du grau mit blau verknüpfst, bewegst du deinen Finger erst in Richtung von grau (falls ein grauer Pfeil dort startet) und dann in Richtung von blau (wiederum nur falls es an dem Punkt überhaupt blau weitergeht) Nun kannst du ein rotes Pfeilchen vom Startpunkt zum Ziel zeichnen. Das mit allen Eckpunkten. Dann Zyklen ablesen.