Grenzwert berechnen. Bsp. cn = 1/n^2

Question

Berechne den Grenzwert der Folge ⟨c_n , n ∈ ℕ^*⟩ und erkläre die Vorgangsweise:

a) c_n = n-1/n

b) c_n = 2n-1/n

c) c_n = 1/n²

d) c_n = 1 + 2n²/ 3n²

Answer 1

Angenommen, da fehlen fast keine Klammern

a) c_n = n - 1/n

ist unbeschränkt, da n gegen unendlich geht und 1/n ≤ 1. Die Folgenglieder c_(n) sind somit grösser als n-1 . (c_n) ist unbeschränkt ===> a) konvergiert nicht.

b) c_n = 2n-1/n

konvergier nicht. Begründung wie in a)

c) c_n = 1/n²

Die Folgenglieder konvergieren gegen 0.

d) c_n = 1 + 2n²/ (3n²)   | Bruch kürzen

= 1 + 2/3 = 5/3

das ist eine konstante Folge . Der Grenzwert ist 5/3.

Annahme, du hast Klammern gemeint:

a) c_n = (n-1)/n

Konvergent. Grenzwert ist 1.

b) c_n = (2n-1)/n

Konvergent. Grenzwert ist 2.

c) c_n = 1/n²

Konvergent. Grenzwert ist 0.

d) c_n = (1 + 2n²)/ (3n²)

Konvergent. Grenzwert 2/3.