Beweis Absolutbetrag. Zeige: |x| < ε ⇔-ε < x < ε

Question

Hallo

Ich habe folgende triviale Aufgabe:

$$ x∈ℝ$$ |x| = x falls x>0
|x| = -x falls x <0

Seien x und x₀ ∈ℝ und ε > 0. Beweisen Sie folgende Aussagen:

|x| < ε ⇔-ε < x < ε

und

 |x-x₀| < ε ⇔ x₀ -ε < x < x₀ + ε

Wie Beweise ich sowas triviales formal richtig?

Ich kann es in Sätzen schreiben, aber nicht mathematisch.

$$|x| < ε ⇔-ε < x < ε$$
Wenn der Betrag von x schon kleiner ist als ε, muss die Zahl x ja einen kleineren Wert als ε haben. Der Beweis geht doch schon aus der Aufgabe hervor?!
Ich habe extra die einfachsten zwei Aufgaben genommen und hoffe auf eine Musterlösung, damit ich eine Idee bekomme, was man unter "Beweis" versteht.

Danke

Comments

Leider bin ich eine Niete und bräuchte Hilfe bei diesem Beweis:

Sei C >= 0, dann gilt: |x| <= C  <=> -C <= x <= C

Answer 1

Behauptung: |x| < ε ⇔ -ε < x < ε

Beweis: Durch Fallunterscheidung.

    Fall 1. Sei x < 0.

        "⇒" (aus der linken Ungleichung folgt die rechte Ungleichung)

            Dann ist |x| = -x, also -x < ε. Multiplikation mit -1 liefert dann x > -ε.

            Wegen x < 0 und 0 < ε ist auch x < ε.

        "⇐" (aus der rechten Ungleichung folgt die linke Ungleichung)

            Multiplikation der Ungleichung -ε < x mit -1 liefert ε > -x, also ε > |x|

    Fall 2. Sei x > 0.

        Geht analog zu Fall 1.

Answer 2

Mache eine Fall unterscheidung

|x| < ε

Fall 1: x >= 0

x < ε

Ergibt die Lösungsmenge 0 <= x < ε

Das ganze jetzt noch für den zweiten Fall und dann loch die Lösungsmengen zusammenführen.

Die zweite Aufgabe folgt analog. Du brauchst also nur per Fallunterscheidung die Betragsungleichung aufteilen.

Answer 3

 |x-x₀| < ε ⇔ x₀ -ε < x < x₀ + ε

kannst du auf den 1. Fall zurückführen; denn du hast ja

(anders formuliert)  |z| < eps  ⇔ - eps < z < epsalso mit z = x-xo gibt das 

 |x-x₀| < ε ⇔  -ε < x-xo < x₀       | +xo 

                 ⇔ x₀ -ε < x < x₀ + ε