Behauptung: |x| < ε ⇔ -ε < x < ε
Beweis: Durch Fallunterscheidung.
Fall 1. Sei x < 0.
"⇒" (aus der linken Ungleichung folgt die rechte Ungleichung)
Dann ist |x| = -x, also -x < ε. Multiplikation mit -1 liefert dann x > -ε.
Wegen x < 0 und 0 < ε ist auch x < ε.
"⇐" (aus der rechten Ungleichung folgt die linke Ungleichung)
Multiplikation der Ungleichung -ε < x mit -1 liefert ε > -x, also ε > |x|
Fall 2. Sei x > 0.
Geht analog zu Fall 1.